牛顿法：
一元函数，**函数连续二阶可微：$x^{(k)}$处的$f(x),f^\prime(x),f^{\prime\prime}(x)$**均可求
割线法：
一元函数，**函数连续一阶可微：$x^{(k)}$处的$f(x),f^\prime(x)$**均可求
牛顿法使用（二阶）泰勒逼近（抛物线逼近），泰勒逼近式的一阶必要条件做递推公式。
$$ f(x)\Big|_{x_0}= f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac 12f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^2+o(x^3) $$
这个关于$x$的二次函数极值点为
$$ -\frac{-2\cdot\frac 12f^{\prime\prime}(x_0)x_0 + f^\prime(x_0) }{ 2\times\frac12 f^{\prime\prime}(x_0) }= -\frac{ f^\prime(x_0)- f^{\prime\prime}(x_0)x_0 }{ f^{\prime\prime}(x_0) } =x_{\text{new}} $$
牛顿法求解的是$g(x)=0=f^\prime(x)$的解。
$$ \begin{aligned} x^{(k+1)}&= x^{(k)}-\frac{f^\prime(x^{(k)})}{f^{\prime\prime}(x^{(k)})} \\&= x^{(k)}-\frac{g(x^{(k)})}{g^\prime(x^{(k)})}. \end{aligned} $$
割线法使用【差分】泰勒逼近（差商近似$q(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{t(x_0)}{2!}(x-x_0)^2,t(x_0)=(\Delta x...)$）
割线法求方程：
$$ x^{(k+1)}=x^{(k)}-\frac{x^{(k)}-x^{(k-1)}}{g(x^{(k)})-g(x^{(k-1)})}g(x^{(k)})=\frac{g(x^{(k)})x^{(k-1)}-g(x^{(k-1)})x^{(k)}}{g(x^{(k)})-g(x^{(k-1)})} $$