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初等变换矩阵可如下构造， 如交换$ij$行可以用交换$\varepsilon_i,\varepsilon_j$来实现，
$$ E_n=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\right)\to E_{ij}=\left(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_j,\cdots,\varepsilon_i,\cdots,\varepsilon_n\right) $$
$$ E_{ij}=\left(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_j,\cdots,\varepsilon_i,\cdots,\varepsilon_n\right)\\\Leftrightarrow E\varepsilon_j=\varepsilon_i,E\varepsilon_i=\varepsilon_j,E\varepsilon_k=\varepsilon_k\\\Leftrightarrow E(\varepsilon_i+\varepsilon_j)=(\varepsilon_i+\varepsilon_j),E(\varepsilon_i-\varepsilon_j)=-(\varepsilon_i-\varepsilon_j),E{\varepsilon_k}=\varepsilon_k $$
那么一般的初等变换矩阵就是特征值问题，初等矩阵是在全空间任意基底(不一定正交)执行交换、数乘
$$ \boxed{E_{\bm \varepsilon_i\leftrightarrow\bm \varepsilon_j}\varepsilon_i=p\varepsilon_j,E_{\bm \varepsilon_i\leftrightarrow\bm \varepsilon_j}\varepsilon_j=q\varepsilon_i} $$
或者看成广义特征值问题$E_{\bm \varepsilon_i\leftrightarrow\bm \varepsilon_j}\varepsilon_i=pE_{ij}\varepsilon_i$
不妨将全空间按一个向量$\bm v$ 分为$\{c\bm v,c\in\mathbb C\}\oplus\bm v^\bot$，$\{\bm v^\bot_i\}_1^{n-1}$和$\bm v$正好构成特征空间的基底（$\lambda=1,1-\sigma\bm v^\dagger \bm u$）
$$ E(\bm u,\bm v;\sigma)\bm v_i^\bot =\bm v_i^\bot-\sigma\bm u(\bm v^\dagger \bm v_i^\bot )=\bm v_i^\bot,\\E(\bm u,\bm v;\sigma)\bm u=\bm u-\sigma\bm u(\bm v^\dagger \bm u)=(1-\sigma\bm v^\dagger \bm u)\bm u. $$
这里的$\bm u\in \bm v^\bot$时$\bm v^\dagger \bm u =0$，$Eu=u$,矩阵特征值为全为1，几何重数是$n-1$; $\bm u=\bm v$时
$$ E(\bm u,\bm v;\sigma)\bm v=\bm v-\sigma\bm u(\bm v^\dagger \bm v)=\bm v-\sigma(\bm v^\dagger \bm v)\bm u. $$
进而初等变换矩阵$E_{ij}=E(\bm \varepsilon_i-\bm \varepsilon_j,\bm \varepsilon_i-\bm \varepsilon_j,1)$
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一般表达$E(u,v;\sigma)=E_n-\sigma uv^H(u,v\in \mathbf C^n, \sigma\in\mathbf C)$<=交换，数乘，线性组合
单位矩阵发生关于秩的rank 1 （小）扰动（秩一矩阵$rank(uv^H)\le rank(u) rank(v^H)$ ?向量组表示？）
v的正交补⇒子空间 \dim v
$$ v^\perp=\{\gamma|(v,\gamma)=0,\forall \gamma\in \mathbb C^n\}\subset\mathbb C^n $$
$$ \dim v^\perp=n-1.\\v^\perp=\mathcal L(u_1,u_2,\cdots,u_{n-1}) $$
$$ E(u,v,\sigma)u_i=(E_n-\sigma uv^H)u_i=u_i-u(v^Hu_i)=1\cdot u_i $$
进而出现特征值和特征向量。
u的特征子空间：
$$ E(u,v,\sigma)u=(E_n-\sigma uv^H)u=u-\sigma u(v^Hu)=(1-\sigma v^Hu)\cdot u. $$
考虑u是否在v的正交补内，特征向量组（同正交补）是否有n个线性无关基向量，进而决定初等矩阵是否可相似对角化。
$$ \lambda E(u,v,\sigma)=\{1,1,\cdots,1,1-\sigma v^Hu\}. $$
是否可逆：
$$ \det E(u,v,\sigma)=1-\sigma v^Hu $$
逆矩阵：
$$ E^{-1}=E(u,v,\frac \sigma{\sigma v^Hu-1}),\det E\ne 0 $$
一定可以转换两向量：
$$ Ea=b, \ \sigma u=\frac{a-b}{v^Ha}. $$
交换
$$ E_{ij}=E(e_i-e_j,e_i-e_j,1). $$
高斯消元矩阵（初等矩阵的特殊形式，来自高斯消元法）⇒块高斯消元法（除法变为求逆）
$$ E(l_i,e_i,1),\ l_i=(0,\cdots,0,l_{i+1,i},\cdots,l_{n,i}),l_{k,i}=\frac{a_{k,i}}{a_{i,i}}. $$
Schur 补：实现并行化；改善特殊矩阵的收敛性（谱半径收敛）；代数预处理技术
$$ D-CA^{-1}B $$
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Householder变换是镜像|反射变换
将向量$\bm x$减去$\bm x$在$\bm u$ 上的投影$P\bm x$，就是$\bm x$$\bm x$$\bm u^{\bot}$上的投影$Q\bm x=(I-P)\bm x$，再减$P\bm x$就是$\bm x$沿$\bm u^{\bot}$超平面($\bm u$的正交补)的镜像。
$$ H(\bm u)\bm x=E_n\bm x-2\bm u(\bm u^\dagger \bm x)=(\bm x-\langle\bm x,\bm u\rangle\bm u)-\langle\bm x,\bm u\rangle\bm u=P^{\bot}\bm x-P\bm x $$
也是关于$\bm u$所在直线的反射。
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