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有限维线形变换，总可以定义特征值问题（$n$次特征多项式至少在复数域上一个根），但特征空间不一定同构于全空间（不可相似对角化为对角阵）。

$$ \left\{\begin{aligned}A\bm \varepsilon_{i0}=k_0\bm \varepsilon_{j0}=k_0B\bm \varepsilon_{i0},\\A\bm \varepsilon_{i1}=k_1\bm \varepsilon_{j1}=k_1B\bm \varepsilon_{i1},\\\cdots \\A\bm \varepsilon_{ir}=k_r\bm \varepsilon_{jr}=k_rB\bm \varepsilon_{ir} \end{aligned}\right.\Leftarrow \left\{\begin{aligned}A\bm \varepsilon_{\lambda 0}=k_0\bm \varepsilon_{\lambda 0},\\A\bm \varepsilon_{\lambda 1}=k_1\bm \varepsilon_{\lambda 1},\\\cdots \\A\bm \varepsilon_{\lambda r}=k_r\bm \varepsilon_{\lambda r} \end{aligned}\right. $$

但矩阵总可相似于Jordan标准型，由此可定义广义特征值问题。 https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector

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m = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 5, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}
Map[MatrixForm, JordanDecomposition[m]]