• 真空中麦克斯韦方程组

  $$ \begin{gathered}\nabla\times \boldsymbol E=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t} \\\nabla\times \boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol{J}+\mu_0\boldsymbol{\varepsilon}_0\frac{\partial{\boldsymbol E}}{\partial t} \\\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac\rho{\varepsilon_0} \\\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 \end{gathered} $$

• 介质中麦克斯韦方程组

  $\rho=\rho_f+\rho_p$自由电荷，极化电荷$\rho_p=-\nabla\cdot \boldsymbol{\mathcal P}$；$J=J_d+J_M+J_p.$传导电流，磁化电流$J_M=\nabla\times M$，极化电流$J_P=-\frac{\partial \mathcal P}{\partial t}$

  $$ \begin{aligned}&\nabla\times\boldsymbol{E}= -\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t} \\&\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_d+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \\&\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho_f \\&\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&\oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\boldsymbol{t}}\int_{s}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \\&\oint_{L}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=I_f+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{\mathrm{s}}{\operatorname*{\int}}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \\&\oint_{s}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=Q_{t} \\&\oint_s\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \oint_{\partial \Sigma}\bm E\cdot d\bm l&=-\iint_\Sigma \frac{\partial \bm B}{\partial t}\cdot d\bm \sigma\\

\oint_{\partial \Sigma}\bm H\cdot d\bm l&=\iint_\Sigma \left(\bm J+\frac{\partial \bm D}{\partial t}\right)\cdot d\bm \sigma\\

\oiint_\Sigma \bm D\cdot d\bm \sigma&＝\iiint_\Omega \rho dV\\

\oiint_\Sigma \bm B\cdot d\bm \sigma &= 0 \end{aligned} $$

• 斯托克斯公式 → 格林公式 - 积分定理

  封闭曲线的环量，等于旋度的（封闭曲线为边界的曲面）通量

  $$ \oint_l\bm A\cdot d\bm l=\iint_\Sigma\left(\nabla\times \bm A\right)\cdot d\bm \sigma $$

• 高斯公式 → 格林公式 - 积分定理

  封闭曲面的通量，等于散度的（封闭曲面所围体积的）体积分

  $$ \oiint_\Sigma \bm A\cdot d\bm \sigma=\iiint_\Omega \nabla \cdot \bm A dV $$