内能internal energy是广延量（可加，线性依赖系统大小）
能量是守恒的：系统的能量可以通过对系统做功或者允许热量流入系统来改变。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} d U & = \text{đ}W +\text{đ}Q\\ &=\boldsymbol{f} \cdot d \boldsymbol{X}+\text{đ}Q \end{aligned} \end{equation} $$
熵表述：存在广延量态函数（function of state）$S(E,\boldsymbol X)$（熵entropy），它是能量$E$的单调递增函数，且$\left(\Delta S\right)_{绝热}\ge0$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} dU&\le TdS+\text{đ}W.\\ \to dU&\le TdS+\boldsymbol{f} \cdot d \boldsymbol{X} \end{aligned} \end{equation}
$$
或者
$$ \begin{equation} \begin{aligned} dS&\ge \frac{1}{T} dU-\frac{1}{T} \text{đ}W.\\ \to dS&\ge\frac{1}{T} dU-\frac{\boldsymbol{f}}{T} \cdot d \boldsymbol{X} \end{aligned} \end{equation}
$$
可逆过程：准静态热力学过程（控制变量的一些无限小过程变化可以精确返回；无摩檫力的过程）。不等式取等号。
假设熵是关于内能的单增函数：定义温度（强度量intensive quantity）
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right){\boldsymbol X}&\ge 0\\\to T\equiv \left (\frac{\partial E}{ \partial S} \right ){\boldsymbol X}&\ge 0 \end{aligned} \end{equation}
$$
克劳修斯不等式（由卡诺定理推出），定义态函数熵为$S_B-S_A\equiv\int_A^B \frac{\text{đ}Q}{T}$，取微分有$dS=\frac{\text{đ}Q}{T}$
避免吉布斯佯谬：理想气体的熵
变分表述