• （列）向量

• 线性相关/线性无关

  • 包含零的向量组必然线性相关【加法单位元】

• 线性组合/线性表出：向量与向量组的关系 （线性组合$\to span(a_1,a_2)，\sum_i\alpha_ia_i$，

  • 非负组合|锥组合$\alpha_i\ge0\to \text{锥}$，

  • 【凸组合】

    加权组合|$\sum_{i=1}^k\alpha_i=1\to \text{convex}$，

  • 仿射组合$\sum_{i=1}^k\alpha_i=1\to\text{affine}.$

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  • (张成|生成)子空间：基，维数
  • 基 as 极大无关组：子空间的项都可以唯一表出
  • 标准基：单位列向量构成的组

矩阵

• 数表示

  • 秩$\text {rank} \mathbf A$

    • （按列分块）线性无关列的最大数目：秩等于维数

    • 秩是矩阵非零子式的最大阶数

    • 保秩运算：初等变换（倍增，倍加，交换两列），新增线性相关列；乘以可逆矩阵；转置，旋转，镜像

    • 矩阵求秩可以用列初等变换将其变为阶梯式，数其非零列的个数

      矩阵求秩_矩阵的秩-CSDN博客

  行列式

• 矩阵的逆：$\mathbf A$ 是非奇异的$\Leftrightarrow$ 存在方阵$\mathbf B$，使得$\mathbf A\mathbf B=\mathbf B\mathbf A=\mathbf I$

  • $\det A\ne0$,非奇异，可逆矩阵
    • 满秩矩阵的行列式不为零，即n个线形无关列
  • 计算机按照手工计算（初等变换法$A|I\to I|A^{-1}$）求逆数值不稳定：inv(A) ；施密特正交化求逆

• 线性方程组：$\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ or $x_1\mathbf a_1+x_2\mathbf a_2+\cdots+x_n\mathbf a_n=\mathbf b$

  • 增广矩阵的秩等于增广矩阵的秩$\text{rank}\mathbf A=\text{rank}[\mathbf A,b]$，有解； 增广矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于n $\text{rank}\mathbf A=\text{rank}[\mathbf A,b]=n$则唯一解 增广矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于n 无穷解 增广矩阵的秩小于增广系数矩阵的秩 无解 $Ax=0$不满秩有无穷解$\det A=0$ $Ax=0$满秩只有零解 $\det A\ne 0$

    • 齐次线性方程组$\mathbf A\mathbf x=0,\mathbf A\in \mathbb F^{m\times n}$基础解系$\text{span}(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-\text{rank}\mathbf A})=\mathcal N(\mathbf A)=\{x\in \mathbb F^n:Ax=0\}=\ker(\mathbf A)$核空间， 非齐次线性方程组$x^*=\eta+...=\eta +\mathcal N(\mathbf A)$齐次解构成的子空间的平移。 像空间$\mathcal R(A)=\{Ax\in \mathbb F^m:\forall x\in \mathbb F^n\}$ 值域空间与核空间垂直，互为正交补空间$\mathcal V^\perp=\{x:v^Tx=0,\forall v\in \mathcal V\}$。
      • 【定理】$\mathcal R(A)^\perp=\mathcal N(A^T),\mathcal N(A)^\perp=\mathcal R(A^T)$
    • 广义逆

空间

• 线性空间→内积空间→赋范空间
  • 内积，范数：两个向量之间的关系（长度-自己内积-距离-范数、角度-正交、等）

    • 【内积】非负性，对称性，可加性，齐次性（的二值函数$\left \langle \cdot ,\cdot   \right \rangle :\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$）

      • 加权内积|椭球内积：$x^TAy$,$A$是正定矩阵
      • 复空间内积：$\sum_{i=1}^nx_i\bar{y}_i$
        • 对称性：$\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$

    • 【（向量）范数】非负，齐次，三角不等式（的二值函数）

      • 【欧式范数|2-范数】$\left \| \mathbf{x}  \right \| =\sqrt[]{\left \langle \mathbf{x} ,\mathbf{x}  \right \rangle } =\sqrt[]{\left \langle \mathbf{x} ^T\mathbf{x}  \right \rangle }$
      • 【椭球范数 | A-范数】$\sqrt{x^TAx}$
      • 【p-范数 | inf-范数】$\|\boldsymbol{x}\|_p=\begin{cases}(|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{1/p},&\quad1\leqslant p<\infty\\\max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\},&\quad p=\infty\end{cases}$

    • 范数的等价性：不同的范数的上下界相同（形式类似均值不等式链）

      • [ ] 证明，使用？

      $$ \begin{aligned}&\|\boldsymbol x\|{2}\leq\|\boldsymbol x\|{1}\leq\sqrt{n}\|\boldsymbol x\|{2}, \\&\|\boldsymbol x\|{\infty}\leq\|\boldsymbol x\|{2}\leq\sqrt{n}\|\boldsymbol x\|{\infty}, \\&\|\boldsymbol x\|{\infty}\leq\|\boldsymbol x\|{1}\leq n\|\boldsymbol x\|{\infty}, \\&\|\boldsymbol x\|\infty\leq\|\boldsymbol x\|2\leq\|\boldsymbol x\|1, \\&\sqrt{\lambda}\|\boldsymbol x\|{2}\leq\|\boldsymbol x\|{A}\leq\sqrt{\Lambda}\|\boldsymbol x\|_{2},\end{aligned} $$

      第一个的右边为柯西不等式（1-范数看成向量2-内积，用2-范数的柯西不等式）

    • 范数意义下的$\epsilon,\delta$语言：向量值函数的连续性（绝对值→范数）

  • 推出柯西-施瓦兹不等式：范数的上界；等号条件：线性相关
    • 变形：椭球范数，（内积和范数对应改变，仍有相同结论）
    • 变形：对偶范数
  • 【矩阵范数】通过向量范数导出
    • 【1-范数|列范数】对列向量求1-范数，组合成行向量求无穷范数