固体中的原子振动可以看作3N个振子的振动，假设频率都一样为$\omega$

能量$\varepsilon_n=\hbar\omega(n+\frac12),$之后老三样$\begin{gathered}\begin{aligned}Z_1&=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta(n+1/2)\hbar\omega}=\frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\end{aligned} \\\begin{aligned}U^\nu=-3N\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_1&=\frac{3N}{2}\hbar\omega+\frac{3N\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\end{aligned} \\\begin{aligned}C_{V}=3Nk\bigg(\frac{\hbar\omega}{kT}\bigg)^{2}\frac{e^{^{\hbar\omega/}{kT}}}{\left(e^{^{\hbar\omega/}{kT}}-1\right)^{2}}\end{aligned} \end{gathered}$

引入爱因斯坦特征温度：$\begin{aligned}k\theta_E=\hbar\omega\end{aligned}$，$C_V=3Nk{\left(\frac{\theta_E}T\right)^2}\frac{e^{\theta_E/T}}{\left(e^{\theta_E/T}-1\right)^2}$

高温下：T>>$\theta_E$ , $e^{\theta_E/T}-1\boldsymbol{\approx}\frac{\theta_E}T$ ，$C_V$=3Nk，符合能量均分定律

低温下：$\large e^{\theta_E/T}-1\boldsymbol{\approx}e^{\theta_E/T}$, $C_V$=0.

顺磁性固体

磁性离子在特定晶格上，距离够远，作用力够低。这样可以看作定禹近独立的磁性离子组成的系统，遵从玻尔兹曼分布。

离子磁矩μ在外磁场中能量的可能值为：$E_{1,2}=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}=-\mu_zB_z^\circ=\frac emm_S\hbar B=\pm\frac{e\hbar}{2m}B$