分布$\{a_l\}$,微观状态数 $Ω$表示系统总的状态数。

不同系统对不同粒子分布是否等价的判定不同。

玻尔兹曼系统：可分辨，量子态粒子数不限制 $\Omega=\frac{N!}{\prod a_l!}\cdot \prod \omega_l^{a_l}$

玻色系统系统：不可分辨，量子态粒子数不限制 $\Omega=\frac{1}{\prod a_l!}\cdot \prod \frac{(\omega _l+a_l-1)!}{(\omega _l-1)!}$

费米系统：不可分辨，限制为1: $\Omega=\prod \frac{\omega _l!}{ a_l!(\omega_l-a_l)!}$

经典极限（非简并条件）：每个量子态上的平均粒子数远小于1 $\frac{a_l}{\omega_l}\ll 1$.

$$

\begin{aligned} \boldsymbol{\Omega}{{B}.{E}.}& =\prod{i}\frac{\left(\omega_{i}+a_{i}-1\right)!}{a_{i}!\left(\omega_{i}-1\right)!} \\ &=\prod_{i}\frac{\left(\omega_{i}+a_{i}-1\right)\left(\omega_{i}+a_{i}-2\right)\cdots\omega_{i}}{a_{i}!} \\ &\approx\prod_{i}\frac{\omega_{i}^{\alpha_{i}}}{a_{i}!}=\frac{\Omega_{\mathcal M.B.}}{N!} \end{aligned}

$$

$$

\begin{aligned}\Omega_{\mathrm{r.d.}}&=\prod_i\frac{\omega_l!}{a_l!(\omega_l-a_l)!}\\&=\prod_i\frac{\omega_l(\omega_i-1)\cdots(\omega_l-a_i+1)}{a_l!}\\&\approx\prod_i\frac{\omega_l^{*l}}{a_i!}=\frac{\Omega\text{M.B.}}{N!}\end{aligned}

$$

等概率原理假设每个微观状态数出现的概率相同。一种分布对应一种微观粒子数，微观粒子数最多的分布，出现的概率最大，称最概然分布