Points

1. $E_{sys}+E_{sou}=E^{(0)}$→$\rho_s\propto \frac 1 \Omega_{sys}\propto\Omega_{sou}$→$\rho_s=\frac 1 Z\exp(-\beta E_s)$
2. $\Omega_{sys}(N,V,T)\cdot\Omega_{sou}(\cdots,E_{sou})=\Omega(E^{(0)}\gg E_{sys})$，$F(T,V)$

闭合系：只考虑能量守恒，与大热源构成孤立系。E

$$ E+E_r=E^{(0)},E\ll E^{(0)},\\\Omega\cdot \Omega_r=\Omega^{(0)}. $$

孤立系$\rho^{(0)}$为常数：

$$ \rho=\frac 1 \Omega\cdot\frac 1 \Omega_r=\frac 1 {\Omega^{(0)}}=\text{const}.\\\to \rho_s=\frac 1 \Omega \propto \Omega_r. $$

⇒推出正则方程（基本方程）

$$ \rho_s=\frac 1 Ze^{-\beta E_S} $$

分布函数归一$\sum_s\rho_s=1$→（正则）配分函数表达式：

$$ Z=\sum_se^{-\beta E_S} $$

【比对玻尔兹曼系统的量子态求和的配分函数】

对能级的配分函数：

$$ \mathcal Z=\sum\Omega_le^{-\beta E_l},\rho_l=\frac 1 {\mathcal Z}\Omega_le^{-\beta E_l} $$

正则分布的经典表达式：

$$ \rho(q,p)d\Omega=\frac{1}{N!h^{Nr}}\frac{e^{-\beta H(q,p)}}{\mathcal Z}d\Omega $$

同理得出配分函数：

$$ \begin{aligned}\mathcal Z=\frac{1}{N!h^{Nr}}\int e^{-\beta H(q,p)}d\Omega\end{aligned} $$

【玻尔兹曼系统的推广】