Legendre equation:
$$ (1-x^{2}){\frac{\mathrm{d}^{2}P(x)}{\mathrm{d}x^{2}}}-2x{\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}}+n(n+1)P(x)=0. $$
施图姆-刘维尔形式
$$ {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left[(1-x^{2}){\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0. $$
连带勒让德方程 the general Legendre equation
the associated Legendre polynomials are the canonical solutions of the general Legendre equation
$$ \left(1-x^2\right)\frac{d^2}{dx^2}P_\ell^m(x)-2x\frac{d}{dx}P_\ell^m(x)+\left[\ell(\ell+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]P_\ell^m(x)=0, $$
施图姆-刘维尔形式
$$ \frac{d}{dx}\left[\left(1-x^2\right)\frac{d}{dx}P_\ell^m(x)\right]+\left[\ell(\ell+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]P_\ell^m(x)=0, $$
【勒让德方程 - 常点领域上的级数解】化为$y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=0$的形式，找到$x_0=0$是方程常点，解具有泰勒级数形式。那么带入级数并合并同幂次项得到级数系数的【递推公式】。
$$ a_{k+2}=\frac{k^{2}+k-l( l+1 )}{( k+2 ) ( k+1 )}a_{k}=\frac{( k-l ) ( k+l+1 )}{( k+2 ) ( k+1 )}a_{k}. $$
这样，$l$阶勒让德方程的解为两列级数的组合$y(x)=a_0y_0(x)+a_1y_1(x)$，即$y_0$是偶数次项和，$y_1$是奇数次项和。其次，我们要确定解在常点领域解析的范围，即幂级数收敛半径$R\sim\lim_{n\to \infty}|\frac {a_n}{a_{n+1}}\frac {a_{n+1}}{a_{n+2}}|=\lim_{n\to \infty}|\frac {a_n}{a_{n+2}}|=1$。
考虑到$x=\cos \theta,|x|\le1$，级数解是否满足处处收敛只需要再考虑$x=\pm1$处收敛性，其余处的收敛性级数解自身可以保证。而$|x|=1$是区间的端点，解在端点是否有限可以视为一种自然边界条件，随具体问题决定是否需要这个边界条件。
要满足自然边界条件，级数解要退化为多项式（无穷级数→有限幂次级数）【勒让德多项式】。乘适当常数，得到勒让德多项式的表达式
$$ \mathrm{P}{l}( x ) = \sum{k=0}^{[l/2]} \left( -1 \right)^{k} \frac{\left( 2l-2k \right)!}{2^{l}k!\left( l-k \right)!\left( l-2k \right)!}x^{l-2k} , $$
$$ P_l(x)=\frac 1{2^ll!}\frac {d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$