复合系统$N+N_r=N^*$

$r$为热源，复合系统为孤立系，

$$ \begin{aligned}&\ln\boldsymbol{\Omega}{r}(N^{(0)}-N,\boldsymbol{E}^{(0)}-\boldsymbol{E}{,}) \\&=\ln\boldsymbol{\Omega}{r}\left(N^{(0)},\boldsymbol{E}^{(0)}\right)+\left(\frac{\partial\ln\boldsymbol{\Omega}{r}}{\partial N_{r}}\right){N{r}=N^{(0)}}\left(-N\right)+\left(\frac{\partial\ln\boldsymbol{\Omega}{\epsilon}}{\partial E{r}}\right){E{r}=\boldsymbol{E}^{(0)}} \\&=\ln\boldsymbol{\Omega}_{\mathrm{r}}(N^{(0)},\boldsymbol{E}^{(0)})-\alpha N-\boldsymbol{\beta}E,\end{aligned} $$

子系统三个参量交替可以交换，其他两个不变【不同内约束对应不同子系统，都可以借助（微正则系综的）玻尔兹曼关系得到系统的熵，进而得出热力学量】：

• 能量（动能）交换：$\beta=\frac 1 T$

$$ \beta=\Big(\frac{\partial\ln\Omega(N,E,V)}{\partial E}\Big){{N,V}} $$

• 体积交换：系统压强因子$\gamma=\frac p{kT}$

$$ \left.\gamma=\left(\begin{matrix}\frac{\partial\ln{\Omega}({N},{E},{V})}{\partial V}\\\end{matrix}\right.\right)_{N,{E}} $$

• 粒子数交换：系统化学势因子$\alpha=-\frac{\mu}{kT}$

$$ \alpha=\left(\frac{\partial\ln\Omega(N,E,V)}{\partial N}\right)_{E,V} $$

一方面采用平衡条件类比，另一方面（开放系的看法）：

$$ \begin{aligned} d\ln\Omega(N,V,E) & = \beta dE+\gamma dV+\alpha dN,\\dS & = \frac 1TdE+\frac pTdV-\frac \mu TdN. \end{aligned} $$

共轭场为$\beta$和$-\beta \mu$.注意配分函数的相位自带一负号。