五次以上方程有没有根式解？
为什么有理系数的一元五次方程不能通过有限次的加、减、乘、除、开根号得到一般解？
为了搞清楚，为什么$5$以上的数字跟$1,2,3,4$如此不同，我们先来看一看$1$与$2,3,4$有何不同。对一元方程来说，要求解，只需要进行加减乘除运算即可，而加减乘除，并不会让有理数变成无理数。通常我们将有理数表示为$\mathbb Q$，而有了对加减乘除封闭的性质，我们就可以把 称为有理数域。域的定义你就可以直接理解为：**集合元素对加减乘除封闭。**大家熟知的实数，复数也都是域。
为什么我们要谈封闭性？很简单，因为方程里面只含有加减乘除，要是不封闭了，那$ax$就不是有理数，那这样$c$也就不是有理数了。显然，这是矛盾的。$ax^2+bx+c=0.$
利用一个非常经典的结论：在复数域$\mathbb C$中，$n$次方程定有$n$个根（包含类似$(x-1)^2=0$这样$x_1=x_2=1$的重根）。这是高斯在他的博士论文中首次证明的优美结论。这个结论的证明涉及的更多是复分析而不是代数，所以我们在这里不再提它。假设根是$x_1,x_2$，那么就有
$$ \begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=1\end{cases} $$
我们可以看到，这两个根相当地对称。即使我们交换一下$x_1$和$x_2$，上述方程的形式也不会变化。
这就启发我们在保持方程形式不变的情况下，对整个方程进行变换。