$$ pV=nRT=nk_\text{B}N_\text{A}T=Nk_\text{B}T $$

自由膨胀实验→ 焦耳定律

1845，自由膨胀实验。气体向真空膨胀体积增大，温度保持不变→ [自由膨胀]真空$W=0$，[绝热过程]水温不变$Q=0$→ 气体内能不变$\Delta U=0$

$$ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{U}=0 $$

三变量之间偏导数恒等式$U=U(T,V)$

$$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_U\left(\frac{\partial T}{\partial U}\right)V=-1\\\to C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)T=-\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right){V}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right){U}=0 $$

内能与体积无瓜葛。

• 焦耳定律：离线气体的内能只是温度的函数。
  • 理想气体的内能：
• 理想气体的焓

对理想气体有表达式

• [焦耳定律]$U(T).$

  $$ dU=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV+\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT\\=0+C_VdT. $$

• [物态方程]$pV=nRT$

  $$ dU=\text{đ}W +\text{đ}Q=-pdV+TdS\\C_VdT=-\frac{nRT}{V}dV+TdS $$

  $$ dS=C_V\frac{dT}{T}+nR\frac {dV}{V} $$

绝热过程

• 绝热线$pV^{\gamma}=C_1$
• 等温线

卡诺循环

• 循环过程：[狭义]平衡态[广义]系统由某个状态出发，经过任意过程回到原来的状态。

  → 系统经过循环后，内能不变。[math]

  • $p-V$图，准静态循环过程是一条闭合曲线。顺时针→ 正循环→$W=-\int pdV<0$系统对外做正功$W'=-W$u。

• 热机：利用工作物质的正循环，不断把热量转化为功

  • 制冷机：逆循环
  • 效率