| 波动力学 | 矩阵力学 | 路径积分 | |
|---|---|---|---|
| 发明者 | Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger | Werner Heisenberg | Richard Phillips Feynman |
| state 状态 | 波函数 | （态）矢量 | |
| 力学量 | 算符 | 矩阵 | |
| 运动 | 薛定谔方程 | ||
| —微分方程 | 海森堡运动方程 | ||
| —矩阵运算 |
状态vs 力学量
在量子力学中引入表象，再所引的表象中把力学量用算符表示
大部分算符是线性的。算符之积一般不满足交换律。
$\hat{A}\hat{B}\neq\hat{B}\hat{A}$当等号成立则二者对易。
【基本对易关系】坐标与动量的对易关系可归纳为$\hat{r}_i\hat{p}_j-\hat{p}_j\hat{r}i=i\hbar\delta{ij}$
The measurement result $b$ is statistically uncertain if the overlap $p(b|a)=|\langle b|a\rangle|^2=|\langle a|b\rangle|^2<1$
In this case, the two operator do not commute $[\hat A,\hat B]\equiv\hat A\hat B-\hat B\hat A\ne 0$
Otherwise, they would share the same system of eigenstates $|\psi_0\rangle\to |\psi_1\rangle\to p_b=1.$
$\hat C=[\hat A,\hat B]$ is an anti-hermitian. $\hat C^\dagger=-\hat C${the operator of the observable is hermitian.}
Incompatible observables correspond to non-commuting operators, cause mutual statistical uncertainty which can be quantified in uncertainty relations.
角动量算符
算符的分量形式
$$ \hat{\vec{l}}=\hat{\vec{r}}\times\hat{\vec{p}}\quad(=\begin{vmatrix}i&i&k\\x&y&z\\\hat{p}_x&\hat{p}_y&\hat{p}_z\end{vmatrix}) $$
使用张量计算简便分量计算。
首先引入函数空间的内积
$$ \int d\tau\psi^*\varphi=( \psi,\varphi) $$
算符作用于波函数
$$ \int d\tau\psi^*{\hat{O}}\varphi=(\psi,\hat O\varphi) $$
常用技巧：