一维谐振子的势能可以用$V=\frac12kx^2=\frac12m\omega^2x^2$表示，属于无限深势阱。其哈密顿算符$H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2x^2$。薛定谔方程$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-\frac12m\omega^2x^2\right)\psi=0$。
引入$\\xi=\\sqrt{\\frac{m\\omega}\\hbar}x=\\alpha x,\\left(\\alpha=\\sqrt{\\frac{m\\omega}\\hbar}\\right);\\lambda=\\frac{2E}{\\hbar\\omega}$，将薛定谔化简为$\\frac{d^2\\psi}{d\\xi^2}+(\\lambda-\\xi^2)\\psi=0$。
$\text{当 }\xi\to\pm\infty\text{时, }\xi^2\gg\lambda\text{,故可略去 }\lambda。$得到方程$\frac{d^2\boldsymbol{\psi}}{d\xi^2}-\xi^2\boldsymbol{\psi}=0$。
$\\psi(\\xi)=e^{\\frac{\\xi^2}2}H(\\xi), H(\\xi)为保证\\psi(\\xi)有限的函数$。
用级数的方法展开$H(\xi)$,比较两边相同幂级的系数，可以得到$a_{\nu+2}=\frac{(2\nu+1-\lambda)}{(\nu+1)(\nu+2)}a_\nu$
$\begin{gathered}H=a_{0}\left[1+\frac{1-\lambda}{2!}\xi^{2}-\frac{(1-\lambda)(5-\lambda)}{4!}\xi^{4}+\cdots\right] \\+a_1\xi\left[1-\frac{3-\lambda}{3!}\xi^2+\frac{(3-\lambda)(7-\lambda)}{5!}\xi^4+\cdots\right] \end{gathered}$
$H$的级数应该只有有限项，则$\\lambda=2n+1$，这也代表能级$E_n=\\frac12\\lambda\\hbar\\omega=\\hbar\\omega\\left(n+\\frac12\\right)$是分 离的。则该波函数的解$\\psi_n(\\xi)=N_ne^{-\\frac{\\xi^2}2}H_n(\\xi)$