• 非简并条件：$e^\alpha\gg1$ 或$n\lambda^2\ll1.$
• 弱简并：？？

只考虑分子平动，不考虑分子内部结构运动。有

分子能量：

$$ \varepsilon=\frac{1}{2m}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}) $$

分子微观状态数：

$$ D(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon=g\frac{2\pi V}{h^{3}}(2m)^{3/2}\varepsilon^{1/2}\mathrm{d}\varepsilon  $$

总分子数和系统内能可表示为

$$ N=g\frac{2\pi V}{h^{3}}(2m)^{3/2}\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon^{1/2}\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{e}^{\alpha+\beta\varepsilon}\pm1} $$

$$ U=g\frac{2\pi V}{h^{3}}(2m)^{3/2}\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon^{3/2}\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{e}^{\alpha+\beta\varepsilon}\pm1} $$

• 利用弱简并条件带来的小量，展开被积函数，保留前两项（保留第一项，零阶近似，玻尔兹曼分布）并积分：

$$ \begin{aligned}N&=g\Big(\left.\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}V\mathrm{e}^{-\alpha}\Big(\left.1\mp\frac{1}{2^{3/2}}\mathrm{e}^{-\alpha}\right)\\U&=\frac{3}{2}g\Big(\left.\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}VkT\mathrm{e}^{-\alpha}\Big(\left.1\mp\frac{1}{2^{3/2}}\mathrm{e}^{-\alpha}\right)\end{aligned} $$

？？零阶近似${e}^{-\alpha}=\frac{N}{V}\Big(\frac{h^{2}}{2\pi mkT}\Big)^{3/2}\frac{1}{g}$结果：

$$ \begin{aligned}U&=\frac{3}{2}NkT\Big[1\pm\frac{1}{4\sqrt{2}}\frac{1}{g}\frac{N}{V}\Big(\frac{h^{2}}{2\pi mkT}\Big)^{3/2}\Big]\\&=\frac{3}{2}NkT\Big(1\pm\frac{1}{4\sqrt{2}g}n\lambda^{3}\Big)\end{aligned} $$

内能第一项是玻尔兹曼分布的内能，第二项是全同性原理引起的量子统计关联导致的附加内能。（弱简并下附加内能较小）费米气体的附加内能为正，等效排斥；玻色气体的附加内能为负，等效吸引作用