一阶齐次函数的欧拉定理

$$ f(x_1,x_2,\cdots)=\sum_{i=1}^n(\frac{\partial f}{\partial x_i})x_i $$

证明：一次齐次函数有

$$ f(u_i=\lambda x_i)=\lambda f(x_i) $$

对$\lambda$求微分，与对$u_i$取微分联立。对任意$\lambda$等式成立，取$\lambda =1$有次结论。

用法：

$$ dE=TdS-pdV+\sum\mu dn $$

$E$是广延量（线性依赖于系统的大小），根据定理，有

$$ E=TS-pV+\mu n $$

观察全微分，与写出的微分做差，得到吉布斯-杜亨方程。