• $n\lambda^3\ge2.612.$

设粒子自旋为零$g=1$

确定化学势

粒子数：

$$ a_{\imath}=\frac{\omega_{\imath}}{\mathrm{e}^{\frac{s_{\imath}-\mu}{kr}}-1} $$

粒子数非负，得到理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量

$$ \varepsilon_l>\mu\to\min(\varepsilon_l)=\varepsilon_0=0>\mu. $$

总粒子数得到化学势的隐函数：

$$ \frac1V\sum_{l}\frac{\omega_{l}}{\mathrm{e}^{\frac{\varepsilon_{l}-\mu}{kT}}-1}=\frac NV=n $$

• 给定粒子数密度$n$，又$\varepsilon,\omega$与温度无关，可以得到化学势与温度之间的增减关系，发现相变存在。

将求和转变为积分，并利用数值计算解出临界温度。

$$ T_{c}=\frac{2\pi}{\left(2.612\right)^{2/3}}\frac{\hbar^{2}}{mk}(n)^{2/3} $$

• 温度低于临界温度，处在最低能级的粒子与总粒子数处于同一量级（宏观数量级的粒子处于最低能级）。微观状态完全确定，能量为零，熵为零，动量也为零。

$\lambda$相变

可以证明，低维系统不产生BEC