Bell - 1964 - On the Einstein Podolsky Rosen paradox.pdf

1. EPR argument

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   quantum entanglement

   $$ \frac 1{\sqrt 2}(\ket{01}-\ket{10}) $$

   Bohm, D. (1951). Quantum Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, page 29, and Chapter 5 section 3, and Chapter 22 Section 19.

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Note:

1. （现代的）量子力学基本假设
   1. HV 隐藏变量理论认为它可以代替基本假设
   2. EPR 中有例子（量子纠缠）认为它是量子力学的反例
   3. Bell证明HV理论一定是local的理论（LHV局域隐变量理论），而符合量子力学的等价理论一定是non-local的。贝尔定理| 贝尔不等式。
   4. 实验能否验证自然究竟是L 还是NL？实验家在填补Bell test的各种漏洞。
2. EPR argument
   1. 哲学认知：物理量如何知道它是“好”的，可实证的。
3. Bell nonlocality, Bell test

   1. Bell scenarios 贝尔情景

      1. probability distributions概率分布是无穷轮的渐进逼近asymptotic limit of infinitely many rounds得到。实验只能有限轮后进行统计。物理理论在这里完成了从无限到有限的惊险跨越。
      2. #players $P=\{A,B,\cdots\}$, #input settings $\mathcal M_P$, #outputs alphabet $\mathcal m_P$

   2. process and strategies

      1. 描述一个player某轮的处理过程process $\lambda$可以用输入输出的关联$P_\lambda(ab|xy)$（函数，像替换为随机变量，取值替换为概率空间采样；这里取概率空间一个点$(a,b,x,y)$就是概率）。这样描述共#D_gen 个参数，组成一个processes集合，构成一个概率（空间）分布。

         $$ \mathcal P_\lambda=\{P_\lambda(Out|In)\mid \sum_{Out}P_\lambda (Out|In)=1\} $$

         某个确定类型的process共有#D 中方案。如确定性处理过程deterministic process 共#D $=(Out)^{In}$种方案，每种输入都可以确定性地指向一种输出

      2. players’ strategy over all the rounds of the test 策略假设它 1. 独立于每轮的输入$\lambda$和$(In)$独立 2.每一轮的process独立同分布（IID Independent and identically distributed）地从processes集合中采样选取。概率分布给定$Q(\lambda)|Q(\lambda)\ge0,\int d\lambda Q(\lambda)=1$

   3. observed behavior| behavior of the players 实测行为

      $$ \mathcal P=\{P(Out|In)\} $$

      观察者并不知道players选择的是什么处理过程process，至多知道players的输入输出分布，但它依据之前的假设，可以认为players选择的策略满足这种分解(凸组合 convex combination)(策略按照概率分布$Q$每轮独立同分布采样且独立于当轮输入选择)

      $$ P(Out|In)=\int d\lambda Q(\lambda)P_\lambda(Out|In)，\int d\lambda Q(\lambda)=1,Q(\lambda)\ge0 $$

      确定性行为 deterministic behavior指每次players都用确定的process$\lambda_d$,$Q(\lambda)=\delta(\lambda -\lambda_d)$

   4. 有哪些processse处理过程（策略），又有哪些behaviors实测行为

      1. no-signaling process ⇒ no-signaling behavior

      2. Local process ⇒ Local behavior 关键在$P_\lambda$可以继续分解$P_\lambda(Out|In)=\prod_i P_\lambda(O_i|I_i)$;后者多一个凸组合。

         $$ P_\lambda(Out|In)\overset{LV}=\prod_i P_\lambda(O_i|I_i) $$

         • Local behavior ↔ Bell locality

           $$ P(ab|xy)=\int d\lambda Q(\lambda)P_\lambda(a|x)P(b|y). $$

         • Arthur Fine’s theorem

           1. 普遍形式没有确定 #D 处理过程processes有多少种方案（$\lambda$ 个数）；选择处理过程的分布$Q(\lambda)$是任意的、缺乏表达式的。
           2. local behavior ↔convex mixture of local deterministic processes;

      3. local deterministic process 是Local process 的特例

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      • 取local set为所有local behavior的集合$\mathcal L$，对应player能选择的（local processes 凸组合出）所有behavior

        • convex set:凸组合的凸组合也是凸组合

        • compact set：概率做系数，有界

        • Krein-Milman theorem

          https://en.wikipedia.org/wiki/Krein–Milman_theorem：紧凸集合（Hausdorff局部凸拓扑向量空间的子集）是其极点extreme points 的闭凸包closed convex hull。

        • 极点就是所有LD behaviors 的集合。are and only those

        • 点面转换，得到不等式

   5. 贝尔不等式 Local polytope

   6. 求解

      MOSEK

1. 量子关联

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   Bell test 中使用的量子资源

   Bell test中区分量子和经典的（特征）工具

   ---

   量子纠缠是量子关联，但可分态中也可以存在非经典的量子关联

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   • Bell nonlocality 就是量子纠缠吗？Bell和EPR都拿它做经典理论的反例

     Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model by Werner： 混态的量子纠缠是比nonlocality更弱的量子关联。

     • Wiseman 2007： quantum steering：与纠缠和nonlocality（程度）都不同的量子关联（也从EPR paradox），集合存在介于两者之间

   • loophole-free verification of Bell nonlocality

半定规划

• 对偶：拉格朗日对偶 minimax problem，锥规划 cone programming

  $$ \max (\bm c ,\bm x)\\s.t. \bm b -Ax\in L\\\bm x\in K $$

  $$ \min -(\bm b,\bm y)\\s.t. -\bm c+A^T\bm y\in K^,\bm y\in L^ $$

• CvxpyLayer

  1. Optimization: 作为模型组分，不仅仅用于参数优化和结构搜索

  2. 配合PyTorch的自动微分：CVX求解最优化问题转化为优化层CvxpyLayer(prob,parameters=[_x],variables=[_y])，PyTorch’s autodiff 对优化层对应函数y,=layer(x) 直接微分y.sum().backward()

  3. Learnable Parametrized Optimization Layers

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     In this part, we will show how to use an optimization layer to learn a parametrized objective function and hard constraints from data that are initially unknown to the model. From a parameter learning perspective, this layer can be interpreted as another differentiable black box and the parameters can be treated just as any other layers’ parameters and learned with gradient-based updates.

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     • OptNet: 嵌入

量子信息科学的主要目的是充分利用量子资源提高信息处理和通信能力。量子关联是借助测量结果与测量基选择的关联体现的量子系统特性，包括量子纠缠quantum entanglement、量子导引quantum steering等形式。评估不同形式量子关联和完成其他衍生量子信息工作，如纠缠度量表征、量子信道容量计算、量子态估计等，一个重要手段是求解等价的凸优化问题。寻找更快速的凸优化算法和实现更方便的凸优化求解工具一直备受从业者关注。

深度学习通过构造多层神经网络和参数训练，能够自动学习和处理数据中的复杂模式。自动微分技术是一类自动化梯度计算工具，能够追踪前向传播运算并给出反向传播所需的每个参数的梯度。将优化问题嵌入到机器学习模型是朴素的模型约束手段，机器学习发展早期就有人提出，并在最近愈发成熟。阿莫斯Amos和科尔特Kolter于2017年开发出一种包含可微二次优化层的神经网络OptNet，将二次优化嵌入神经网络并支持自动微分，兼容现有深度学习框架并有效提高训练效率。阿格拉瓦尔Agrawal等人于2019年找到一套构造可微凸优化层方法并集成到现有深度学习框架PyTorch等中。

可微凸优化层技术的进步和快速求解凸优化问题的现实需求促使人们寻求神经网络的帮助。许多量子信息问题，诸如量子态层析、量子态估计、纠缠度量表征、量子信道容量计算，都可以转化为半正定规划问题；后者是凸优化的子领域。研究人员借助CVXPY将半定规划问题仿射变换为可微锥规划问题，用cvxpylayer加载微分算子以嵌入PyTorch等主流机器学习框架，训练出一个能够表征特定量子关联且能计算特定量子信息度量的神经网络。CVXPY和cvxpylayer依赖求解器求解优化问题；而cvxpylayer仍缺乏某些优化问题求解器的支持，实际使用中出现错误结果。进一步完善cvxpy、cvxpylayer等开源代码库能够进一步提高相关领域从业者的工作效率。

本文将回顾量子信息发展的历史，列举若干量子信息问题的凸优化表达；简要介绍凸优化问题及其半正定规划子集，以及什么是可自动微分的凸优化算法。本课题使用的CVXPY开源优化求解器和CvxpyLayers扩展库的主要功能和实现方法也将扼要说明。