$n$个自由度的力学系统

$n$个独立变量

广义坐标↔广义速度

→用线性空间$M\sim\mathbb{R}^n$作为基础的坐标空间，称configuration 结构状态space位形空间

→向量$\{q_i\}\in M$称广义坐标generalized coordinates，给出系统的位置

→广义速度generalized velocity $\dot{q}=\frac{dq}{dt}=\left\{\frac{dq_i}{dt}\right\}$

→系统的状态$(q,\hat q)\in TM\sim \mathbb{R}^{2n}$，向量所在的空间$TM$称为状态空间state space

到达广义动量：正则变换对

傅里叶变换的对偶对

线性代数里的symplectic basis, is a basis $e_i,f_i$ of a symplectic vector space, which is a vector space with a nondegenerate 非退化alternating交替 bilinear form $\omega(e_i,e_j)=0=\omega(f_i,f_j),\omega(e_i,f_j)=\delta _{i,j}$. A symplectic basis of a sympletic vector spcae always exists, and can be constructed by a procedure si

广义坐标↔广义动量

• 粒子的能量：$\left.\varepsilon=\varepsilon\left(\begin{array}{c}q_{1},\cdots,q_{r};p_{1},\cdots,p_{r}\end{array}\right.\right)$

  • 如果有外场，粒子的能量还是外场的函数

• 粒子相空间（$\mu$空间）：广义坐标和广义动量张成的$2r$维线性直角坐标空间

  $$ \mu:span(q,p)\equiv(q_1,...,q_r;p_1,...,p_r) $$

  • 相空间是偶数维
  • 相空间是正交空间

  $$ \begin{aligned} d\omega & = dq_{1}dq_{2}\cdots dq_{r}dpdp_{2}\cdots dp_{r}\\ & = dqdp \end{aligned} $$

  相格子

线性正交空间的基本性质：

$$ \Delta \tau =\Delta q_1 \cdot...\cdot\Delta q_r\cdot \Delta p_1\cdot...\cdot \Delta p_r $$

相空间的每个点代表粒子的一个运动状态（一一对应），这个点成为粒子运动状态的代表点。粒子运动→相空间中移动（轨道）→经典描述的基本特点

• Example 1 三维自由粒子