Lagrangian 拉格朗日量

$L\in C(TM): TM\to\mathbb{R}$

$(q,\dot{q})\mapsto L(q,\dot{q})$

$\{q_i\}$为局部坐标系

作用量action定义为拉格朗日量在时间段上的积分，也是拉格朗日量函数的泛函functional

$S(L)=\int_{t_0}^{t_1}L(q,\dot{q},t)dt$

$C(TM)\mapsto \mathbb R,\quad L\mapsto S(L)$

能描述力学系统真实运动的拉格朗日量需满足哈密顿最小作用量原理。

$$ \begin{aligned}\delta S & = 0\\\delta q(t_0)&=\delta q(t_1)=0\end{aligned} $$

变分variation。第二式边界条件

利用欧拉-拉格朗日方程可以找到泛函$S$的驻点statinary point.

[理论力学笔记（一）：变分法](https://zhuanlan.zhihu.com/p/99890863#comments:~:text=我们可以将,驻点(Stationary)

取时间微元，期间L任意变化，端点不变，再积分。作用量的变分换为L的变分

$$ \int_{t_0}^{t_1}\left[L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q},t)-L(q,\dot{q},t)\right]dt=0 $$

一种观点，将$\delta q\to \alpha \eta,\ \delta \dot q\to\alpha \dot \eta$,再求$\alpha =0$为作用量最小值$\frac {\partial S}{\partial \alpha}=0$

另一种观点,按照偏微分的定义直接将上式化简，而积分恒为零说明被积式为零

$$ \int_{t_0}^{t_1}\left[\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta\dot{q}\left.\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right]dt=0\right.  $$

$$ K=K_1+K_2=\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}=0 $$

欧拉-拉格朗日方程：Euler-Lagrangian equation E-L equation