20世纪初，瑞典数学家、积分方程理论的创始人之一弗雷德霍姆（Fredholm）和阿达玛发表的著作中出现了将分析学一般化的萌芽。随后，德国数学家希尔伯特（Hilbert）开创了希尔伯特空间研究。希尔伯特空间（Hilbert Space）是有限维欧几里得空间的一个推广，它不局限于实数的情形和有限的维数，但又不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间。内积空间是线性代数里的基本概念，是增添了一个额外结构的向量空间。这个额外的结构叫作内积。内积将一对向量与一个标量连接起来，从而允许有距离和角的概念以及由此引申而来的正交性与垂直性的概念。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点，从而使微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间。这成为了泛函分析的核心概念之一。
自 1906 年起，美国数学家莫尔（R. L. Moore）开始了建立线性泛函分析和算子的抽象理论的研究工作。而第一个有影响的步骤是希尔伯特的学生、德国哥廷根学派的爱尔哈德·施密特(Erhard Schmidt）迈出的。他引入希尔伯特的几何观念，把函数看成是平方和序列的空间（抽象的l²空间)的点，并导出正交系，建立了所谓希尔伯特空间。另外值得一提的是，线性代数中大家熟知的Gram-Schmidt正交化就是这位施密特。
Completeness of Hilbert Spcae
Use of 'complete' as in 'complete set of states' or 'complete basis'