电子自旋：电子“绕自身的轴自转”，因而具有自旋角动量和自旋磁矩。
实际上，电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。【狭义相对论解释？】【无经典对应】
轨道角动量+pauli理论解释的自旋角动量=总角动量，它们实际构成复合体系（两种角动量并不相同），因而存在纠缠现象。角动量一般理论尝试给出所有角动量算符的矩阵表示；是否耦合即是否同时出现两体系角动量求和，它们之间的变换是表象的基变换。
描述自旋态：电子自旋数值为$\frac \hbar 2$。自旋角动量在任意方向的投影取值为$S_z=\pm\frac \hbar 2$
Pauli自旋理论：非相对论，旋量波函数spinor wave function，泡利矩阵
Dirac自旋理论：狭义相对论，狄拉克旋量Dirac spinor，狄拉克方程
旋量波函数or 自旋波函数←二分量波函数
以$m_S$表示自旋磁量子数，$\hat S_z$的本征值为$m_S\hbar$，对应本征态$\chi_{\frac12}(S_z)=\binom10, \chi_{-\frac12}(S_z)=\binom01$
实际上对应$\hat S_z$的本征值和本征态。
自旋算符
泡利矩阵是其群表示（群同态），二者同构$S\times S=i\hbar S$, $\sigma=\frac 2\hbar S$
对易关系$[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$
$$ (\frac\hbar2)^2\epsilon_{ijk}\sigma_i\sigma_j=(\frac\hbar2)i\hbar \sigma_k\to \epsilon_{ijk}\sigma_i\sigma_j=2i\sigma_k $$
左项包含哑变量，代表求和；求和包含两项，恰好构成对易形式。对易关系中不包含哑变量，$\epsilon_{ijk}$仅表示符号和指标$k$取值
投影$\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}\mathbb I$
【$i=j$】自旋角动量投影取值$\pm \frac \hbar 2$，$\sigma=\frac 2\hbar S$，那么泡利矩阵投影值取$\pm1$，即投影值的平方必然为1.
【$i\ne j$】见反对易
联立对易和反对易关系，可以求解出$i\ne j$时（$\epsilon_{ijk}$指示指标和符号。不满足指标的等式不在此表示，需要重新考虑）
$$ \sigma_i\sigma_j=-\sigma_i\sigma_j=i\epsilon_{ijk}\sigma_k $$
【证明投影取值不依赖方向】$\hat S_n=\hat S\cdot \vec n=\frac \hbar 2\sigma\cdot \vec n$而任意单位向量$n=(\sin\theta\mathrm{cos}\varphi,\mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\varphi,\mathrm{cos}\theta)$
计算$\hat S_n$的特征值，$\lambda=\pm \frac \hbar 2$，不依赖方向。
计算其本征态矢量，与旋量波函数形式对比。
反对易关系$\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}\mathbb I$
在投影的基础上，还需要证明$i\ne j$的情况
$$ \sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=\frac 1{2i}\bigg[(\epsilon_{pqi}\sigma_p\sigma_q)\sigma_j+\sigma_j(\epsilon_{pqi}\sigma_p\sigma_q)\bigg] $$
对于三维空间，表达式实际上是讨论$i\ne j,p\ne q\ne i$情况，可以将所有分量罗列出来。不妨设$i=1,p=2,3,q=3,2,j=2$，即$p=j$和$q=j$两种情况。
$$ \begin{aligned} &(\sigma_2\sigma_3-\sigma_3\sigma_2)\sigma_2+\sigma_2(\sigma_2\sigma_3-\sigma_3\sigma_2) \\ =& (\sigma_2\sigma_3\sigma_2-\sigma_2\sigma_3\sigma_2)-\sigma_3(\sigma_2\sigma_2)+(\sigma_2\sigma_2)\sigma_3\\= & 0-\sigma_3+\sigma_3 = 0 \end{aligned} $$
故$i\ne j$时反对易式为零。
或者，$\sigma_i[\sigma_i,\sigma_j]+[\sigma_i,\sigma_j]\sigma_i=[\sigma_i^2,\sigma_j]=0=\{\sigma_i,\sigma_j\}$
【向量积】已知$[\sigma_i,\sigma_j]=\sigma_i\sigma_j-\sigma_j\sigma_i=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$和$\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=\delta_{ij}\mathbb I+\delta_{ji}\mathbb I=2\delta_{ij}\mathbb I$，那么，两式相加
$$
$$
矩阵表示（泡利表象$\sigma_z$表象）
$$ \begin{aligned}&\sigma_{1}=\sigma_{x}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\\&\sigma_{2}=\sigma_{y}=\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}\\&\sigma_{3}=\sigma_{z}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\end{aligned} $$
$\sigma_z$表象投影取值$\pm 1$，对应两本征态的列缩并，故$\sigma_z=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$。
总角动量
升降算符，不仅对轨道角动量使用，对总角动量依然适用。
$$ \hat l^2\ket a=\hat l^2\hat l_-\ket {lm}=\hat l_-(l+1)l\hbar^2\ket {lm}=(l+1)l\hbar^2\ket a $$
$$ \hat j_-\ket {jm}=\ket a=c\ket {jm-1} $$
$\ket a$作为$\hat j^2,\hat j_z$的共同本征态，其被$\hat j_-$作用的结果可以对比得出。
$$ \lang a|a\rang=\lang jm-1|C_-^*C_-|jm-1\rang=|C_-|^2\\\to \bra{jm}\hat j^\dagger_-\hat j_-\ket {jm}=|C_-|^2=\bra{jm}\hat j_+\hat j_-\ket {jm} $$
根据升降算符的分量定义
$$ \hat j_+\hat j_-=()()=\hat j_x^2+\hat j_y^2+\hbar\hat j_z $$
带入其矩阵元，再带入本征方程，得到矩阵元的量子数解：
$$ |C_-|^2=\bra{jm}\hat j_+\hat j_-\ket {jm}=\cdots=\bigg[j(j+1)-m(m-1)\bigg]\hbar^2 $$
经典情况下，带电粒子绕$z$轴匀速圆周运动，磁矩$\mu=Ia=\frac 1 2\int_V \vec r\times \vec jdV$与角动量的关系为$|\frac{l}{\mu}|=\frac{q}{2m}$。
考虑非相对论下，自由粒子处于磁场$B=\nabla\times \vec A$，计算其哈密顿量并带入正则动量算符。观察哈密顿量并区分轨道角动量，自旋角动量和两角动量耦合项。
非相对论性自由粒子
$$ H=p^2/2\mu $$
正则动量
$$ p=\mu\dot{r}+\frac{-e}{c} A. $$
磁场中电子的哈密顿量
$$ H=\frac{1}{2\mu}\Big(P+\frac{e}{c}A\Big)^2 $$
转化维算符形式，带入库伦规范条件化简，得到体系哈密顿量。
进一步考虑均匀磁场$A=\frac 12B\times r$，忽略反磁项，将$r\times P$及系数化位轨道磁矩。