$$ \begin{aligned}&\nabla\times\boldsymbol{E}= -\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t} \\&\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_d+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \\&\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho_f \\&\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\end{aligned} $$

考虑无界空间平面电磁波解，或者半无界（边界条件为介质表面）空间的平面电磁波解。

有

$$ J_d\equiv0,\rho_f\equiv0 $$

约束方程组变为

$$ \begin{aligned}&\nabla\times\boldsymbol{E}= -\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t} \\&\nabla\times\boldsymbol{H}=\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \\&\nabla\cdot\boldsymbol{D}=0\\&\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\end{aligned} $$

A:

• 他们可以压缩为两个方程（但这两个方程不能推出前者，需要电位移矢量无源的条件）

$$ \begin{aligned} \nabla\times(\nabla\times E) & = -\frac{\partial }{\partial t}\nabla\times B \\ \nabla (\nabla \cdot E)-\nabla ^2E&=-\mu_0\boldsymbol{\varepsilon}_0\frac{\partial^2{\boldsymbol E}}{\partial ^2t} \\ \nabla ^2E&=\mu_0\boldsymbol{\varepsilon}_0\frac{\partial^2{\boldsymbol E}}{\partial^2 t}=\frac 1 {c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol E}}{\partial^2 t}\\ \nabla ^2B&=\frac 1 {c^2}\frac{\partial^2{\boldsymbol E}}{\partial^2 t} \end{aligned} $$

B:

使用矢势$\mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A},\mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$自动满足磁场无源，电场的旋度势磁场变化率的负值。

使用库伦规范$\nabla\cdot\varepsilon \hat{\mathrm A}=0$自动满足电场无源。

余下磁场的旋度的方程

$$ \nabla\times\hat{\mathbf{H}}=\frac{\partial\hat{\mathbf{D}}}{\partial t},\quad\text{or}\quad\frac{1}{\varepsilon}\nabla\times\frac{1}{\mu}\nabla\times\hat{\mathbf{A}}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\hat{\mathbf{A}}}{\partial t^{2}}=0. $$

$$ \nabla\times(\nabla\times \boldsymbol f)=\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol f)-\boldsymbol \nabla^{2}\boldsymbol f $$

可以写成矢势的波动方程$\boldsymbol{\nabla}^2\boldsymbol{A}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2} = 0$，其平面波解$A=A_{0}\mathrm{e}^{i(k\cdot x-\omega t)}$

PHM

$$ E(x,t)=E_{0}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\cdot x-at)} $$

无源场约束：

$$ \nabla\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_0\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\boldsymbol{t})}=\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\boldsymbol{t})}=\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{E}=0 $$

求解平面电磁波的势：