等离子体的流体模型

导数和偏导数

• 欧拉方法 - 场的方法 - 当地法：$G(x,y,z,t)$认为$(x,y,z)$为固定的坐标架上的点，场$G$随时间变化$\frac{\partial G}{\partial t}$。$(x,y,z,t)$相互独立。
• 拉格朗日方法 - 粒子的方法 - 随体法： $\frac{dG(x(t),t)}{dt}$认为$G$是$t$的函数，$x(t)$为粒子随时间变化的坐标。$x,y,z$是$t$的函数。

两种观点以下式联系起来：

$$ \frac{d\mathbf{G}(x,t)}{dt}=\frac{\partial\mathbf{G}}{\partial t}+\frac{\partial\mathbf{G}}{\partial x}\frac{dx}{\partial t}=\frac{\partial\mathbf{G}}{\partial t}+u_x\frac{\partial\mathbf{G}}{\partial x} $$

流体中，$u_x$可以视为流体整体的速度（粒子没有热运动、碰撞等，流体定义为单纯的按牛顿运动规律粒子的集合）

$$ \frac{d\mathbf{G}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{G}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla})\mathbf{G} $$