$$ \lambda_n\le R_A(x)\le \lambda_1 $$

• 上下界可达。取对应特征向量。

厄密矩阵是正规矩阵，酉相似于对角阵，对角元素是特征值。

$$ A=U\Lambda U^\dagger $$

$$ x^\dagger Ax=y^\dagger \Lambda y=\sum \lambda |y_i|^2 $$

做最大最小值放缩即可。

取值可证明就在最大最小特征值Reileigh商取最值。

特征值的计算 可以变化为 几何种的求极值问题。特征值序列实际商对应几何上的大小变化，故变分特征。

可以使用控制区域（全空间⇒子空间）来控制最值的取值，进而得到偏序序列。

$$ Au_i=\lambda_i u_i,u_i^\dagger u_j=\delta_{ij} $$

设特征向量构成标准正交向量，标准正交基。

控制区域

$$ W=\mathcal L(u_s,\cdots ,u_t),\dim W=t-s+1 $$

Rayleigh 商有界且可达：

$$ \lambda_t=\min R(x)\le R(x)\le \max R(x)=\lambda_s. $$

进而利用

$$ \min_{\Omega}f\le \min_\omega f\le \max _\omega f\le \max _\Omega f. $$

即可得到偏序序列。