粒子（力学）运动状态描述：引入相空间
$$ \left.\varepsilon=\varepsilon\left(\begin{array}{c}q_{1},\cdots,q_{r};p_{1},\cdots,p_{r};\phi\\\end{array}\right.\right) $$
examples: 自由粒子（粒子不受力），线性谐振子（简谐振动），转子（位置由主轴确定，二体运动约化）
$\Delta \hat A\cdot\Delta \hat B\ge\frac 12|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|$→$\Delta q\Delta p\ge\frac {\hbar}{2}$→$\Delta q\Delta p \approx h$
examples: 自由粒子，线性谐振子 $\hat{H}=\sum_{k}\hbar\omega_{k}\Big(\hat{a}{k}^{\dagger}\hat{a}{k}+\frac{1}{2}\Big).$，转子$\varepsilon=\frac{M^2}{2I},M^{2}=l(l+1)\hbar^{2},\quad l=0,1,2,\cdots$ 粒子自旋，自由粒子（立方容器的极限）
系统力学运动状态描述有两大区别：1 近独立→势能作用 2 全同粒子
等概率原理（孤立系系统微观状态出现的概率相等）
对有确定粒子数$N=\sum_la_l$、能量$E=\sum_l\varepsilon_la_l$、体积$V\in \mathbb R$的系统
分布：粒子在各能级的数目。经典的能级划分是无限多→粒子和系统的微观状态数不可数→划分网格$h_0,h_0^r$任意小；量子力学限制$h_0$的最小取值$h?\hbar?$
微观状态：分布+粒子占据量子态的方式（简并度有限v不限，全同(非定域)v可分辨(定域：如晶体中的原子、离子在平衡位置微振动，定域可分辨，称定域粒子；如顺磁性固体、核自旋系统)）
最概然分布（出现最多微观状态数的分布，这个分布出现的概率最大）
斯特林公式：$\ln m!=m(\ln m-1),m\gg 1.$消除阶乘
分布对应的微观状态数的极大值 - 微观状态数随分布变化的虚变动（求导）为零：$\delta_{\{a_l\}}\Omega(\{a_l\})=0_{\{a_l\}}$
分布是对确定系统的分布，满足$N=\sum_la_l$,$E=\sum_l\varepsilon_la_l$；约束条件和寻找微观状态数极值共同构成最优化问题，可使用拉格朗日乘数法解决$a_l=\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}$
[同样可以用二阶微分总为负证明找到的分布为取极大的分布]
[可以发现最概然分布对应微观状态数比相邻分布非常陡的极大，最概然分布的微观状态数近乎为全部可能，偏离的微观状态数几乎为零→孤立系统只考虑最概然分布（玻尔兹曼分布）忽略其他分布引起的误差可以忽略]
[$a_l\gg1$实际不满足，使用巨正则系综可以推出近独立玻尔兹曼（玻色、费米）的平均分布 结果类似]
多元系同样成立
（定域）玻尔兹曼分布，玻色（-爱因斯坦）分布，费米（-狄拉克）分布
满足经典极限条件的玻色（费米）系统也遵循玻尔兹曼分布，但需要除以$N!$。定域系统满足玻尔兹曼系统，不需要除以$N!$
玻尔兹曼统计：热力学函数导出
推出理想气体的物态方程
一般气体满足经典极限条件，推出（气体分子质心的平移运动）气体分子的速度分布律（麦克斯韦速度分布律）
导出能量均分定理
平衡辐射问题【2.6;7.4瑞利-金斯公式】
理想气体内能和热容量的量子统计理论
（单原子）理想气体的熵（吉布斯佯谬）
固体热容量的爱因斯坦理论
顺磁性固体
玻色统计，费米统计：热力学函数导出