• 外观对称性→ 内在结构规律性
  • 对称操作：变换后晶格在空间分布保持不变（重合自身） ｜ 对称素（比如对称轴） ｜ 对称操作数来评判对称性高低
  • 基本对称操作可以组合成不同变换操作，形成不同的对称类型。比如先平移translate|translation再旋转rotate|rotation再镜面reflection再中心反演inversion之类。
  • 这些对称操作称为群元，所有对称操作整体构成一个空间群。每个群元可以代表一类晶体结构。
• 刚体晶体的结构 → 变换矩阵为正交矩阵
  • 布拉菲空间点阵模型描述晶体结构
  • 刚体：晶体点阵的任意两点间距保持不变 ⇒$X→AX,X^\prime→AX^\prime,|AX-AX^\prime|=|X-X^\prime|$⇒ $A^TA=I$
  • 晶体三维无限延伸，周期性分布（如设周期为$a$）

基本对称操作

• 点对称操作→点对称操作群→点群：群 group
  • 国际符号：1,2,3,4,6,\bar 1,m,\bar 4
  • 熊夫列：C_1,C_2,C_3,C_4,C_6,i,\sigma,S_4
• 空间群：包括平移
  • 平移复合：螺旋轴，滑移反映面

转动

$$ \begin{bmatrix}{x_1}^{\prime}\\{x_2}^{\prime}\\{x_3}^{\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&\cos\theta&-\sin\theta\\\mathbf{0}&\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} $$

1. 晶体对称定律：晶体中不存在五次及高于六次的旋转对称轴。（格点，不能铺满全平面）
2. 象转轴｜反轴S_n：先旋转2\pi/n 再中心反演

中心反演 $\bar 1$与$i$

$i=\bar 1=A=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$

镜像 \sigma = m =