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Young’s inequality for products

共轭指数

$$ u,v\in \mathbb R^+,p,q>1 , \frac 1p+\frac 1q=1. $$

满足

$$ uv\le \frac {u^p}p+\frac {v^q}q. $$

• 利用凸性【Jensen不等式】

  $$ \ln tu^p+(1-t)v^q\ge t\ln u^p+(1-t)\ln v^q\\=\frac 1 p\cdot p\ln u+\frac 1q\cdot q\ln v=\ln ab $$

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• 证明不等式：做差做商，或利用函数单调性、极值

  $$ f^\prime(u)=u^{p-1}-v=0\to u_0=v^{\frac 1 {p-1}}. $$

• 证明不等式，利用特定结构

  $$ \frac 1 p u^p=\int_0^u x^{p-1}dx, $$

  $$ y=x^{p-1}. $$