• For dissipative 消散 systems the phase space volume shrinks with time rather than being a constant of the motion.

$$ \Psi(x,t) \to A\Psi(x,t)，A(!x,!t) $$

都是薛定谔方程的解。

归一化约束保留了能描述粒子的解，如舍弃零解。特性良好的解应当满足归一化约束：

$$ \left\{\begin{matrix} \int\limits_{-\infty }^{+\infty}\left | \Psi(x,t) \right | ^2dx&=1, \\ \lim_{x \to \infty }\Psi&=0.

\end{matrix}\right. $$

前者隐含“概率守恒”的假设，后者确保波函数随时间保持归一性。（这对于稳定粒子这是合理的）

其中【1.25】比较重要，将概率波随时间偏导转为对位置矢量的偏导（梯度）。对该式积分时注意波函数在无穷远处极限为零。

$$ \frac\partial{\partial t}|\Psi|^2=\frac{i\hbar}{2m}\bigg(\Psi^\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\Psi^}{\partial x^2}\Psi\bigg)=\frac\partial{\partial x}\bigg[\frac{i\hbar}{2m}\bigg(\Psi^\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^}{\partial x}\Psi\bigg)\bigg]. $$

归一化的结论

$$ \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi_1^*\Psi_2dx=0 $$

打破归一化

[习题1.15]

假设一个自发衰变的不稳定粒子，其寿命$\tau$，这种情况下整个空间发现粒子的概率不是常数，而随时间变化。

• 概率可能是随时间按指数衰减的。⇒ 归一化→势能为实数。

[习题2.1]

归一化→ 分离常数(总能量)必然为实数