动机：近独立粒子系统→（粒子间相互作用）势能系统

结果：最概然分布方法→（状态点密度）概率密度$\rho$

故称平衡态统计物理的普遍理论。

【系综】

描述系统微观状态：哈密顿力学的观点

1. 系统自由度$f=\sum N_ir_i.$ 单粒子相空间扩展为系统相空间$\Gamma$【量子：所有态构成的希尔伯特空间】
2. 系统的运动状态随时间变化，遵从哈密顿正则方程

$$ \dot{q}{i}=\frac{\partial H}{\partial p{i}},\dot{p}{i}=-\frac{\partial H}{\partial q{i}}\quad i=1,2,\cdots,f $$

1. 孤立系统：$H[q_i(t),p_i(t);\psi_i(t)]$ 包括粒子动能、相互作用势能、保守力场势能，不显含时间。

• Tips 1：从拉格朗日到哈密顿
• Tips 2：保守力场，非保守力场计算

系统运动状态的代表点在相空间$\Gamma$中运动，其轨迹由哈密顿正则方程确定。

相空间的轨迹或者是封闭曲线，或者是自身永不相交的曲线（$H$及其微分是单值函数，轨迹由$\dot q_i,\dot p_i$确定）

孤立系统的能量$E$不随时间改变，系统状态处于相空间的一个确定曲面（能量曲面）上：

$$ H(q_{1},\cdots,q_{s};p_{1},\cdots,p_{s})=E $$

时间平均和系综平均

【统计力学】的一个基本概念：如果等待足够长时间（长得多于系统的任一弛豫时间relaxation time），系统最终将流经或任意接近所有满足控制系统的约束的微观状态。

假设如此，设想对系统进行$N$次独立测量，每次测量如此之短以至于对系统保持在仅一个态上

$$ \begin{align} G & = \frac 1N\sum_a G_a\\ & = \sum_v[\frac 1N(n_v)]G_v = \cancel{\sum_v\langle v|G|v\rangle} \\ & = \sum \rho_vG_v = \langle G\rangle \end{align} $$

1 测量次数$a$ 2 态$v$ 3 态空间求和，构成系综平均 ensemble average