固体相邻原子距离小$0.1nm$,原子间相互作用力强，各原子在平衡位置做微振动。
Debye理论: 振动传递，固体内部形成机械波
固体原子各有三个自由度。系统能量
$$ E=\sum_{i=1}^{3N}\frac{P_i^2}{2m}+V(Q_1\cdots Q_i\cdots Q_{3N}) $$
引入相对位移，假设很小
$$ \xi_i=Q_i-Q_{i0}\\~P_i=m\dot{Q}_i=m\dot{\xi}i=P{\xi_i} $$
代换
$$ \begin{aligned}E&=\sum_{i=1}^{3N}\frac{P_i^2}{2m}+V\big(\big(Q_{10}+\xi_1\big)\cdotp\cdotp\cdotp\big(Q_{i0}+\xi_i\big)\cdotp\cdotp\cdotp\big(Q_{3N0}+\xi_{3N}\big)\big)\end{aligned} $$
小量，多元泰勒展开；平衡位置$Q_0$的一阶导为零时平衡条件；二阶近似。非线性光学需要考虑【又温度不是很高】：
$$ E=\sum_{i=1}^{3N}\frac{P_{i}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{3N}\Bigg(\frac{\partial^{2}V}{\partial\xi_{i}\partial\xi_{j}}\Bigg){0}\xi{i}\xi_{j}+V\big(Q_{1_0}\cdots Q_{i_0}\cdots Q_{3N_0}\big) $$
坐标变换，重整坐标为二次型：
$$ E=\sum_{i=1}^{3N}\frac{p_{\xi_i}^2}{2m}+\frac12\sum_{i,j=1}^{3N}a_{ij}\xi_i\xi_j+\phi_0=\frac12\sum_{i=1}^{3N}\left(p_i^2+\omega_i^2q_i^2\right)+\phi_0 $$
新坐标称简正坐标$q_i=\sum_{j=1}^{3N}B_{ij}\xi_j$逆变换$\xi_i=\sum_{j=1}^{3N}C_{ij}q_j$
$\omega\to\omega_i$
$$ \begin{bmatrix}\left(D_{11}-\omega\right)D_{12}D_{13}\cdots D_{ij}\cdots D_{1,3N}\\D_{11}\left(D_{12}-\omega\right)D_{13}\cdots D_{ij}\cdots D_{1,3N}\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\D_{11}D_{12}D_{13}\cdots D_{ij}\cdots\big(D_{1,3N}-\omega\big)\end{bmatrix}=0 $$
振动频谱，虚线为德拜振动模型（二次函数）
德拜：$\int_0^\infty g(\omega)d\omega=\int_0^\infty D(\omega)d\omega\approx\int_0^{\omega_D}B\omega^2d\omega=\frac13B\omega_D^3=3N$