解薛定谔方程：由势能potential energy function 解出波函数。

$$ i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi=\hat H\Psi.\\ i\hbar \frac{\partial \left | \psi (x,t) \right \rangle }{\partial t} = \hat H\left | \psi \right \rangle \ \ \&\ \ \hat H\left | \psi \right \rangle =E_{EigenOfH}\left | \psi \right \rangle $$

势能potential energy function

V is independent of t$V(x)$→constant E 总能量 ← Hamiltonian.

归一化的解，V总为实数，E也总为实数

⇒ 一般解=分离解的线性组合

定态薛定谔

1. 使用分离变量法$f(x)=g(t)=constant \ E$，获得多个变量不同的微分方程

   $$ \Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t). $$

   代入薛定谔方程，分离x,t

   $$ i\hbar\psi\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}\varphi+V\psi\varphi. $$

   $$ i\hbar\frac1\varphi\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac1\psi\frac{d^2\psi}{dx^2}+V=E. $$

   第一个方程解出时间因子，常数项可以并入$\psi(x)$.

   $$ \frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\mathrm{i}E}{\hbar}\varphi \\\Rightarrow \varphi(t)=e^{-iEt/\hbar}. $$

2. 解出定态薛定谔方程

   第二个方程称为定态薛定谔方程$time-independt \ Schr\ddot{o}dinger \ equation$

   $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V\psi=E\psi. $$

   能量算符的本征值$E$：1 本征方程的解2 能量量纲

   满足定态薛定谔方程的解具有特殊性质：

   • stationary states: 概率密度不依赖时间，任何期望都不依赖时间

     $$ \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}, $$

     $$ \langle Q(x,p)\rangle=\int\psi^*Q\left(x,\frac\hbar i\frac d{dx}\right)\psi dx $$

   • states of definity total energy[kinetic+potential], called Hamiltonian

     $$ H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x). $$

     对应的算符 the corresponding Hamiltonian operator 可以通过the canonical substitution$p\to(\hbar/i)(\partial/\partial x)$获得

     $$ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x). $$

     定态薛定谔方程可以表述成算符形式

     $$ \hat{H}\psi=E\psi, $$

     和动量算符一样计算总能量算符【哈密顿H的期望值】

     $$ \begin{aligned}\langle H\rangle=\int\psi^*\hat{H}\psi dx=E\int|\psi|^2dx=E\int|\Psi|^2dx=E.\end{aligned} $$

     $$ \begin{aligned}\langle H^2\rangle=\int\psi^*\hat{H}^2\psi dx=E^2\int|\psi|^2dx=E^2.\end{aligned} $$

     $$ \sigma_H^2=\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2=E^2-E^2=0. $$

     标准差为零，每个样本测量由相同的值，系统总能量的每次测量结果是相同的值

3. 构造（含时）薛定谔方程的一般解

   一般解是linear combiation of separable solutions，即一般解总可以写成以下形式

   这个一般解仍要求薛定谔方程可分离变量，即$V(x)$

   $$ \Psi_i(x,t)=\psi_i(x)e^{-iE_it/\hbar}, $$

   $$ \Psi(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}. $$

   注意，一般解的概率、期望不具有不依赖时间的性质，即使分理解具有：因为不同定态的不同能量在计算共轭相乘时并不必然消除。这种叠加会产生运动（概率幅随时间变化）

定态薛定谔方程的一些定理

1. 归一化的解，分离常数E必然为实数（定态才能分离），势能V必然为实数（都是）。
2. 定态波函数$\psi(x)$总可以取成实数 ← 给定E，$\psi \ \psi^*$都是可行解
3. 势能是偶函数，$\psi$总可以取成奇函数$\psi(x)-\psi(-x)$或偶函数$\psi(x)+\psi(-x)$ ← 给定E,V(x)=V(-x)，$\psi(x) \ \psi(-x)$都是可行解
4. 定态薛定谔方程的每一个归一化的解，E必定大于V(x)的最小值

形式理论

How to descirbe the coherent evolution of physical quantities? Predictable physical quantities are averages $\langle A \rangle$, they combine the quantum state with the operators of observables.

In the Schrödinger picture, we assume that the state evolves and the observables are fixed.

$$ \mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}|\psi\rangle}{\mathrm{d}t}=\hat{H}|\psi\rangle  $$