$$ \left\langle x\right\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\left|\Psi(x,t)\right|^2dx. $$
处于$\Psi$态的一个粒子，他位置的期望如上。
时间演化，位置的期望随时间变化，其快慢可以代表粒子运动的“速度”。粒子位置具有不确定性，其速度不明确定义，可合理知道的是某一速度值的概率（速度的概率密度）
$$ \frac{d\left<x\right>}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi\right|^2dx=\frac{i\hbar}{2m}\int x\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^}{\partial x}\Psi\right)dx $$
$$ \frac{d\left<x\right>}{dt}=-\frac{i\hbar}{2m}\int\left(\Psi^\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^}{\partial x}\Psi\right)dx $$
$$ \frac{d\left<x\right>}{dt}=-\frac{i\hbar}{m}\int\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx $$
$$ \langle v\rangle=\frac{d\left\langle x\right\rangle}{dt}. $$
习惯使用动量描述相关概念（粒子“速度”），
$$ \left\langle p\right\rangle=m\frac{d\left\langle x\right\rangle}{dt}=-i\hbar\int\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)dx. $$
同时可以引入算符记号。【求导|nabla，乘子(2i, x)】
$$ \begin{gathered}\left\langle x\right\rangle=\int\Psi^\left(x\right)\Psi dx,\\\left\langle p\right\rangle=\int\Psi^\left(\frac\hbar i\frac\partial{\partial x}\right)\Psi dx.\end{gathered} $$
广义坐标 ←位置算符 → 位置的期望 → $x$
广义动量 ←动量算符 → 粒子的动量 → $\left(\frac\hbar i\frac\partial{\partial x}\right)$
给出定态$\Psi$态的一个粒子，
再将动量对时间求导，可以观察到Ehrenfest theorem 的例子(计算利用到波函数无穷远极限为零)。此定理说明“速度”、动量上面这些期望值符合经典定律.
position $q$, momentum $p$→ real number, commute