最速降线
$$ \frac{ds}{dt}=\frac{\sqrt{1+(\partial _xy)^2}dx}{dt}=\sqrt{-2gy} $$
$$ \sqrt{\frac{1+(\partial _x y)^2}{-2gy}}\partial_txdt=dt $$
$$ T=\int_0^T\sqrt{\frac{1+(\partial _x y)^2}{-2gy}}\partial_txdt＝\int_0^P\sqrt{\frac{1+(\partial _x y)^2}{-2gy}}dx $$
这个积分可以看做是关于P的泛函；最速降线的模型是泛函极值问题：
$$ T_m=\min_{\begin{aligned}y=f(x)\in C^2\end{aligned}} $$
极小旋转曲面问题：
连接平面上两点的所有曲线中最小旋转曲面面积的曲线
$$ 2\pi y\sqrt{1+(\partial _x y)^2}dx $$
最短线问题－测地线问题：
光滑曲面上两点的最短曲线长度；
一般情况找不到精确的线？哈密尔顿体系下广义相对论的图景与此类似。
$$ \mathcal L=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(\partial _x y)^2+(\partial_x z)^2}dx $$
$$ \min{f(x,y,z)=0\\ y(x),z(x)\in C^{(2)}[x_1,x_2]} $$
等周问题：
围成最大面积的曲线。
$$ l = \int \sqrt{(\partial_tx)^2+(\partial_ty)^2}dt $$
$$ \begin{aligned}
\mathcal L&=\max \frac12\int_{t_1}^{t_2}\left(-y\partial_tx+x\partial_ty\right)dt\\
& s.t. \ \ \ l = \int \sqrt{(\partial_tx)^2+(\partial_ty)^2}dt
\end{aligned} $$
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变分法基本引理
借助另一个东西描述此函数：
弱导数
取$[a,b]$上的任意阶可微函数$\eta(x)$，若$\eta(a)=\eta(b)=0$
$$ \forall \eta(x)\in\Omega_0^\infty[a,b],\int_a^b f(x)\eta(x)dx=0 $$
则零函数。
$\Omega_0^\infty[a,b]$ 是一个线性空间。
证明：保号性
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nse-7327720282654590746-导数计算.pdf.pdf
变分法传统采用以上的微分写法
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E-L 方程
拉格朗日：
定理，
定义最简泛函 （$F\in C^2[x_1,x_2],y(x)\to J\in \mathbb C$）
$$ J\left(y(x)\right)=\int_{x_1}^{x_2}F(x,y,\partial_xy)dx $$
取极值，的极值曲线$y=y(x)$ 应满足必要条件
$$ \boxed{\partial yF-\frac{d\left(\partial{\partial_xy}F\right)}{dx}=0} $$
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