$$ x=\begin{bmatrix} e_1,e_2,\cdots,e_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} $$

线性变换

• 【矩阵相似】

  $A=PBP^{-1}$其中$P$可逆

  等价类：$A \sim B$ 同一线形算符的不同基的矩阵表示

  1. 反身性 2. 对称性 3. 传递性

• 线性变换|线性映射↔矩阵表示：给定基$[e_1,e_2,\cdots,e_n]$的线性组合得到变换后的基$[e_1^\prime,e_2^\prime,\cdots,e_m^\prime]$

  • 齐次性lax=alx
  • 线性性：lx+y=lx+ly

  【线性变换的矩阵表示】如果$v=L(u)$，那么，存在一个矩阵$A\in F^{m\times n}$，满足$y^\prime=Ax^\prime$。

  【两向量组的过度矩阵】

  如果$V,U$是同一个空间，那么两组基是等价的＜=＞可以用另一组基线性表出。 n=m 存在可逆矩阵（过渡矩阵）

  过渡矩阵：$T_{n\to m}=[e_1,e_2,\cdots,e_n]^{-1}[e_1^\prime,e_2^\prime,\cdots,e_m^\prime]$

  曲线$[e_1,e_2,\cdots,e_n]y=[e_1^\prime,e_2^\prime,\cdots,e_m^\prime]y^\prime$

  →向量用不同基表示的变换$[e_1^\prime,e_2^\prime,\cdots,e_m^\prime]^{-1}[e_1,e_2,\cdots,e_n]y=y^\prime=T_{n\to m}y$

  • 相似变换：$y^\prime=Ty$,$y=Ax,\forall x\in U$,$y^\prime=Bx^\prime,\forall x^\prime\in V$⇒$B\bm x^\prime=TA\bm x=B(T\bm x)$⇒$(TA-BT)\bm x=0\to TA=BT,A=T^{-1}BT.$

    • 线性变换在不同坐标基中的矩阵之间相似 $A\sim B,B=C^{-1}AC$ 【矩阵相似】
    • 相似变换成对角阵，即相似对角化

  • 【相似对角化】

    可对角化矩阵

    $$ P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) $$

    • 充要条件：

      • 全空间可以写成$A$的特征子空间的直和

        $$ \mathbb C^n=\bigoplus_{i=1}^rV_{\lambda_i} $$

      ---

      • $A$有$n$个线形无关的特征向量，进而构成全空间的一组基底

      ---

      • 每个特征值的几何重数$m_i$等于它的代数重数$n_i$

      ---

      • Jordan块都是一阶的

    • 【Jordan矩阵】

  ---

  • 【代数重数】

    特征多项式$P_n(\lambda)$ ，多项式的幂次就是对应特征值的代数重数$n_i$

    $$ P_n(\lambda)=\prod_{i=1}^r (\lambda-\lambda_i)^{n_i}=\det(\lambda E_n-A) $$

  • 【几何重数】

    特征向量在对应特征值的$\lambda_i$特征方程的解空间$\mathcal N(\lambda_iE_n-A)$ （特征子空间$V_{\lambda}$）中，【核空间|零空间】 的维数就是该特征值的几何重数$m_i$

    $$ V_{\lambda_i}=\mathcal N(\lambda_iE_n-A)=\{\bm x\mid (\lambda_i E_n-A)\bm x=0\} $$

• 正交矩阵：$T^T=T^{-1}$，即$TT^T=I=T^TT.$是实矩阵，行列式为$\pm1$ 刚体运动

特征值与特征向量

互异特征值的特征值线性无关，特征子空间 构成 直和关系

n个互异特征值，n个互异 线性无关 特征向量

• 计算

  • 高次函数韦达定理$f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0,(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)=0$得出

    $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=-a_{n-1}$等根的关系

  • 特征值的和是迹，特征值的积是行列式

  • 已知特征值，带入求出特征向量

• 相似对角化 T^{-1}BT

• ↔$A$有$n$个线性无关特征向量

  $$ [A\alpha_1,\cdots]=[\alpha_1,\cdots]\begin{bmatrix} \lambda _1 & 0& & \\ 0& \lambda _2& & \\ & & & \\ & & \lambda _n& \end{bmatrix}=A[\alpha_1,\cdots]\\AP=P\Lambda $$

  谱分解|特征值分解|相似对角化

• ← $A$有$n$个互异特征值。

• 实对称矩阵

  • $S^n$ 一定可相似对角化

  • 【实对称矩阵的特征值全是实数】

  • 【实对称矩阵互异特征值对应的特征向量正交】→一定可以相似对角化 且P是

    正交矩阵：$T^T=T^{-1}$,行向量组是标准正交基（产生自 施密特正交化）

  • 【实对称矩阵的特征向量矩阵$P$是正交矩阵】

• 特殊矩阵 图论 可约矩阵 对角占优矩阵

• 可约矩阵 可置换到上对角矩阵 图论

• 对角占优 主对角大小在所在行列绝对值大，每个都成了则严格 方程

• 项链定理 拟牛顿法 加 秩一矩阵（进行一次职一矫正）特征值出现嵌套

• 正交投影

  • 正交补空间$\mathcal V=\{v^T x=0,\forall v\in\mathcal V\}$,$F^n=\mathcal V\oplus\mathcal V^\perp$

  • 子空间 投影：

  • 正交分解：$x=x_1+x_2,x_1\in \mathcal V,x_2\in \mathcal V^\perp$

    • 将$x\to x_1$ 的映射关系定义为**（正交）投影**。$x_1=Px,x_2=x-x_1=(I-P)x$ 证明其位 线性变换
    • 正交投影算子$P$
    • 广义逆 方程组 求解
    • 【投影几何】投影算子：
      • 对称矩阵
      • 幂等矩阵$P=P^2=P^T$

  • 矩阵的值域$\mathcal R(A)=\{Ax:x\in F^n\},A\in F^{m\times n}$矩阵乘以所有向量的结果构成的集合

  • 矩阵的零空间|核$\mathcal N(A)=\{Ax=0\}$

    

• 二次（型）函数