• 分布：

  孤立系统，大量近独立例子，确定$N,E,V$

  $\epsilon_l$能级，$\omega_l$简并度；$\{a_l\}$表示某一能级的粒子数的分布，约束条件：

  • 孤立系条件（粒子数、能量守恒）：$\sum_la_l=N,\sum_la_l\epsilon_l=E$

  分布→宏观态：由分布直接计算系统的宏观性质（平衡态or非平衡态s）

  $$ \Omega_{\text{M.B.}}= \frac { N ! }{ \prod _ { l }a_{l}!}\underline{\prod_{l}\omega_{l}^{a_l}}  $$

  与一种分布$\{a_l\}$对应的状态数$\Omega$称热力学几率，与几率有关，不满足归一化

分布和微观状态

玻色系统

系统状态数

1. $N$个不可分辨的粒子分配到能级上，有$\Omega_1=1$中方案
2. 隔板问题：

$$ \Omega_{\mathrm{B.E.}}=\prod_{l}\frac{(\omega_{l}+a_{l}-1)!}{a_{l}!(\omega_{l}-1)!} $$

费米子

量子态最多容纳一个粒子

$$ \Omega_{\mathrm{F.D.}}=\prod_{l}\frac{\omega_{l}!}{a_{l}!(\omega_{l}-a_{l})!} $$

分布和平衡态

玻尔兹曼分布

拉格朗日乘数法 - Lagrange multiplier

根据等概率原理，包含微观状态数最多的分布，出现概率最大，最概然分布

玻尔兹曼系统应用于定域系统：固体的统计型物理问题，顺磁性固体，固体的热容量问题（不需要满足全同性原理的量子系统）

$\begin{array}{rl}\ln m!&=m(\ln m-1)\end{array},m\gg 1$

[斯大林公司（stirling's approximation）](https://hazysite.notion.site/stirling-s-approximation-c50f8bfba9a74a2caab7f6ebe8e91e8b)

单增的ln函数来简化求极值

$\Omega_{\text{M.B.}}= \frac { N ! }{ \prod _ { l }a_{l}!}\underline{\prod_{l}\omega_{l}^{a_l}} 取对数\ln\Omega=\ln N!-\sum_i\ln a_i!+\sum_ia_i\ln\omega_i$