<aside> 🏆 符号定义： $:=$ 定义为( or $\equiv$) $\mathbb N = \{1,2,\cdots\}$ 正整数集合，自然数集合 $\bigcup_{j=1}^\infty A_j:=\{x\in X:\exist j\in\mathbb N,x\in A_j\}$ 并集 $A \backslash B :=\{x\in X:x\in A,x\notin B\}.$差集 $E^c:=X\backslash E.$ complement 补集 $f:X\to Y$ 函数function|映射：定义域 domain $X$,上域 codomain $Y$ $f(A):=\{f(x):x\in A\}$ $A$的像image； $f^{-1}(B):=\{x\in X:f(x)\in B\}$ $B$的逆像 inverse image；

单射injection：one-to-one function，但不满。 双射bijection：一一对应 满射surjection：每个$y\in Y$都至少有一个$x\in X$与之对应。

$f(x)\le g(x),\forall x\in \mathbb R\to f\le g$函数比大小

</aside>

定义：

• 特征函数（指示函数）$1_E:X\to\{0,1\}=\left\{\begin{array}{c}0,x\not\in E;\\1,x\in E.\end{array}\right.$说明$x$是否在集合$E\subseteq X$中

• “可数” 存在一个双射$f:\mathbb N\to X$ 集合$X$中的元素可以与全体正整数一一对应。

  • 可数集合是“最小”的无穷集合。如果一个集合可数，说明它和$\mathbb N$一样“大”，而不能更大。
  • $\mathbb Z$, $\mathbb N\times \mathbb N$,$\mathbb N^k\times \mathbb N$ , $\mathbb Q$是可数的，$\mathbb R$是不可数的（Cantor对角线法）

• 扩展的实数集合$\mathbb R^*=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}=[-\infty,+\infty]$，仅为与运算方便。

• 级数 对可数多个非负实数求和，那么：

  • 级数收敛发散，与技术的次序无关

• 最小上界 上确界 $s=\sup A$:集合中最大、最小的元素可能不存在（如不存在最小的正实数），但确界总是存在的。最大下界 $s=\inf A$

  

  

• 最简单的积分（简单函数）

引入：

• 理想的集合的测度应当具有什么性质？

  • $m$对于实数集的所有子集$E$都有定义
  • 对于一个区间$[a,b]$，$m([a,b])$应当等于其长度$b-a$
  • $m$具有可数可加性。$m\left(\bigcup_{n}E_{n}\right)=\sum_{n}m(E_{n})$
  • $m$具有平移不变性。$m(E+k)=m(E)$

  勒贝格测度只满足后三条，若尔当测度只满足有限可加性（而非可数可加性）

• 使用可数个区间$\{I_k\}{k\in \mathbb N}$覆盖代求测度的区间$E$，勒贝格测度为各区间长度和的下确界$\lambda^*(E)=\inf[\sum{k=0}^\infty l(I_k)]$, $l([a,b]):=b-a$

  • 哪些集合能如此覆盖？（全体集合构成的集合起名 勒贝格$\sigma$代数，勒贝格可测集）

    

  • 长度定义和测度定义的分野在哪？为什么是要选取区间覆盖却还定义有区间长度？

    • well-defined→不引入不可数个的求和（对应于逐点取实数并计数求和），采用可数个的求和（采用区间覆盖，才能规避实数不可数这一问题，可数是可定义的）【规避“飞矢不动”悖论】
    • 其他方法：扩充实数集合，给点赋予非零长度。

勒贝格测度的一些性质：

• $m^{*}([a,b])=b-a.$

  

• 设我们有一些互不相交的（开、闭、半开半闭）区间$I_1,I_2,\cdots$，则$m^{*}\left(\bigcup_{j}I_{j}\right)=\sum_{j}\ell(I_{j}).$

• $m^\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\leq\sum_{n=1}^\infty m^(A_n).$

• 如果$A,B$都勒贝格可测,则$A\cup B,A\cap B$也勒贝格可测。