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群是一种配备二元运算的代数结构，其二元运算有结合律、单位元和逆元。
群的定义为众多代数结构共有。
自然界的变换都符合群的定义。研究某群变换下保持不变的某种性质——对称性。
埃瓦里斯特·伽罗瓦Évariste Galois：伽罗瓦群的元素对应根的特定置换。
奥古斯丁·路易·柯西Augustin-Louis Cauchy： ****更一般的置换群
阿瑟·凯莱Arthur Cayley：有限群的第一个抽象定义
几何：对称群
爱尔兰根纲领Erlangen program， 菲利普斯·克莱因Felix Klein
李群：克莱因，索菲斯·李Marius Sophus Lie
数论：阿贝尔群
卡尔·弗里德里希·高斯Johann Carl Friedrich Gauß
利奥波德·克罗内克Leopold Kronecker
恩斯特·库莫尔Ernst Eduard Kummer：用素数做因数分解的理想类群