affine space 仿射空间 affine transformation 仿射变换https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation

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一般流形：【切空间】【微分流形】 | | 【对偶空间】【微分几何】【线形空间】 更一般的，切向量是空间$V$（比如$M$）上线性函数$f(ax+by)=af(x)+bf(y),f:V\to \R$（比如线形微分）作用于空间$V$ 的结果。定义向量空间的对偶空间$V^*=\{f\}$，线形函数作用于向量为两空间元素的配对

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子空间元素平移一个向量$\bm r_0$组成的集合 P

$$ P=\bm r_0+V_1=\{\bm r_0+\bm \alpha\mid \bm \alpha\in V_1\}. $$

• 线形方程组的解集是线形流形，反之亦可对应

  $P=r_0+V_1$取$V_1$基底做线形方程组，零空间的基底构成流形对应的线形方程组

  $$ Ax=A\bm r_0=\bm b $$

• 流形中平移得到的线形空间$V_1$是唯一确定的。

• 流形可以是一条直线，一个平面，一个超平面

  • $\mathbb R^n$中任意两条直线包含再某个三维流形中

    $$ r_1=\alpha_0+t\alpha_1 $$

  • 两直线共面，当且仅当$\alpha_0-\beta_0,\alpha_1,\beta_1$线形相关

• 两线形流形包含在维数和+1的线形流形中

  $$ V_3=\mathcal L(\alpha_1,\cdots,\alpha_k,\beta_1,\cdots ,\beta_h,\alpha_0-\beta_0) $$

• 两线形流形有公共向量$\alpha_0$，则交是一个流形$\dim P\cap Q\ge k+h-n.$