线段：两个向量的凸组合$\{\alpha\boldsymbol{x}+(1-\alpha)\boldsymbol{y}:\alpha\in[0,1]\}$
超平面：正交于法向量的向量的集合
- 一般方程：$u_1x_1+u_2x_2+\cdots+u_nx_x=0$过原点；$u_1x_1+u_2x_2+\cdots+u_nx_x=\nu$不过原点
- 截距式：$\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n:\boldsymbol{u}^\top\boldsymbol{x}=v\}$，其中$\boldsymbol{u}=[u_1,u_2,\cdots,u_n]^\top$ 称为法向量
- 点法式：$\langle u,x-a\rangle=0$
空间被超平面一分为二：取名上下、正负空间：
- 正半空间：$H_{+}=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}:\boldsymbol{u}^{\top}\boldsymbol{x}\geqslant v\}$与法向量在同向空间
一簇平面：若干平面的组合
- 线性方程组的解：一簇超平面的交集
- 线性簇：$\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n:\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\}$,$\boldsymbol{A}\in\mathbb R^{m\times n},\boldsymbol{b}\in\mathbb R^n$
-
流形 | 【线形流形】 ：核空间的平移
-
【核空间|零空间】
基础解系构成的子空间，解空间
- 齐次线性方程组$\mathbf A\mathbf x=0,\mathbf A\in \mathbb F^{m\times n}$基础解系$\text{span}(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-\text{rank}\mathbf A})=\mathcal N(\mathbf A)=\{x\in \mathbb F^n:Ax=0\}=\ker(\mathbf A)$核空间，
非齐次线性方程组$x^*=\eta+...=\eta +\mathcal N(\mathbf A)$齐次解构成的子空间的平移。
像空间$\mathcal R(A)=\{Ax\in \mathbb F^m:\forall x\in \mathbb F^n\}$ 值域空间与核空间垂直，互为正交补空间$\mathcal V^\perp=\{x:v^Tx=0,\forall v\in \mathcal V\}$。
- 【定理】$\mathcal R(A)^\perp=\mathcal N(A^T),\mathcal N(A)^\perp=\mathcal R(A^T)$
- 齐次线性方程组$\mathbf A\mathbf x=0,\mathbf A\in \mathbb F^{m\times n}$基础解系$\text{span}(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-\text{rank}\mathbf A})=\mathcal N(\mathbf A)=\{x\in \mathbb F^n:Ax=0\}=\ker(\mathbf A)$核空间，
非齐次线性方程组$x^*=\eta+...=\eta +\mathcal N(\mathbf A)$齐次解构成的子空间的平移。
像空间$\mathcal R(A)=\{Ax\in \mathbb F^m:\forall x\in \mathbb F^n\}$ 值域空间与核空间垂直，互为正交补空间$\mathcal V^\perp=\{x:v^Tx=0,\forall v\in \mathcal V\}$。
-
凸集 convx set $\Theta$ Convexity
【凸组合】 $\sum_i\alpha_ix_i,\sum_i\alpha_i=1.$
集合内任取两点，以其为端点的线段（$u,v$之间的线段）都在集合内，则集合为凸集
空集、单点集为凸集
子空间、超平面、半空间、线性簇
二阶锥，
矩阵：半正定矩阵集$A\ge0,B\ge0,\alpha A+(1-\alpha)B\ge0$故其为凸集
-
证明凸性【定义】：凸组合$\alpha A+(1-\alpha)B$仍在集合内
$F-K$不等式：$\theta_1a+\theta_2b\ge a^{\theta_2}\cdot b^{\theta_2},\theta_1,\theta_2\in (0,1)$
-
证明凸性【保凸运算】
- 凸集的数乘：吹气球
- Minkowski和：
两个集合的连接【计算理论】$A+B:\{x+y|x\in A,y\in B\}$ - 交集
- 凸集仿射变换$A(C):\{Ax|\forall x\in C\}$[平移、旋转、放缩、透视$x\in R^3\to x\in R^2$投影，视点]
-
凸集的极点：不存在两个点，使对于某个$\alpha\in(0,1)$有$x=\alpha u+(1-\alpha )v$，则称点$x$是凸集的极点。【内点：非边界点。】
凸函数
$$ f(\theta x+(1-\theta)y)\leq\theta f(x)+(1-\theta)f(y)\quad\theta\in(0,1) $$
二阶条件：海塞矩阵半正定$H\succeq0$
- 函数值：正定，半正定，负定
-
行列式法：对称矩阵$Q=Q^T$
- **【西尔韦斯特准则】**对称矩阵$Q=Q^T$，各阶顺序主子式：正定↔大于零（合同对角化，数学归纳法）【不能推广到半正定，矩阵半正定⇒各阶顺序主子式非负】 顺序主子式，奇数阶为负，偶数阶为正，矩阵负定
→ 正定 等价于 对称矩阵的各阶顺序主子式大于零 →负定 等价于 对称矩阵的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正
→半正定 等价于 所有主子式非负
-
特征值法：任意矩阵
- 特征值全负，负定。
-
拓扑
- 邻域【范数】：$\left \| x-y \right \| \le \varepsilon$
- 内点：存在该点的一个邻域包含于集合内。
- 闭集：集合包含边界点；边界点并该集仍为该集。
- 紧集：有界，闭集
- Weierstrass 定理｜最值原理
→ 极值原理：$f:\Omega\to\mathbb R$是一个连续函数，若$\Omega$是紧集，则$f$在$\Omega$上有最值。
唯一？极值原理：（严格）凸连续函数：至多有一个极值点，在紧集上有唯一一个极值点；coercive函数。
下半连续函数→保证极小点的存在与唯一
多面体，多胞形
-
支撑超平面support hyperplane：完全位于超平面划分的某一个半空间中：共用→非严格超平面；没有（非凸）；x点处可微→唯一支撑超平面，不可微点处不唯一
-
多面体polytopes：有限个半空间的交集P=\{X|aX=B,Cx\le d\}
-
多胞体polyhedra：非空有界的多面体
- 顶点vertex
- 边edge
- 面face
-
包，仿射包，点，面，棱，顶点
-
仿射集$\theta_1x+(1-\theta_1)y,\theta\in R$过任意 两点的直线也在集合内
-
仿射包：包含$C$最小的仿射集。仿射包比凸包大。
$$ \mathrm{affC:=\{\theta_1x_1+\theta_2x_2+\cdots\theta_mx_n|x_1\ldots x_n\in C,\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n=1\}} $$
-
