波动方程的引入

设方程的形式为：$(\partial_t+\hat{L})\psi(\vec{r},t)=0,$

其中$\hat{L}=\hat{L}(\vec{r},t,\nabla;m,\hbar,...)$为复线性算符。

以单色波为例，

偏导+非相对论的能量与动量关系，得出算符表示：

$$ E\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}\quad\Longrightarrow\quad E\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t} $$

$$ p^2\psi=-\hbar^2\nabla^2\psi\quad\Longrightarrow\quad(p\cdot p)\psi=(-i\hbar\nabla)\cdot(-i\hbar\nabla)\psi\quad\Longrightarrow\quad p\to-i\hbar\nabla =\frac{\hbar}{i}\nabla $$

复合$\hat E\psi=\frac {\hat p^2}{2m}\psi$，得到单粒子薛定谔方程

$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(r,t)=-\frac{\hbar^{2}V^{2}}{2m}\psi(r,t) $$

进一步考虑势场$V(r)$中的粒子，此时粒子的非相对论能量、动量关系是：$E=\frac {p^2}{2m}+V$

三个夸克构成质子、中子。知道夸克之间的势场，薛定谔方程可以由此计算出质子、中子的质量。介子有一对夸克和反夸克构成，同理，可以计算出介子的质量。夸克之间相互作用是强相互作用，目前解析解是不可能的，目前有近似解和数值解。

力学量可以写为算符形式 - 第二基本假设

$$ i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\bigg[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V\bigg]\Psi=\hat H\Psi.\\ i\hbar \frac{\partial \left | \psi (x,t) \right \rangle }{\partial t} = \hat H\left | \psi \right \rangle \ \ \&\ \ \hat H\left | \psi \right \rangle =E_{EigenOfH}\left | \psi \right \rangle $$

薛定谔方程

定域的几率守恒

1. 几率守恒定律

   非相对论（低能）情况下，实物粒子无产生和湮灭现象。随时间变化的过程中，粒子数目保持不变。粒子数守恒。

   波函数的归一化 ：导数的形式

   $\nabla$算符形式：

   概率守恒

   将之前的量子化方法用到相对论情况

   相对论情况

   注意，薛定谔方程和其复共轭方程不是同一个方程：波函数的共轭不一定满足薛定谔方程，但满足薛定谔方程的复共轭方程。

   注意，一般认为势场是实数场。

2. 任何真实的波函数是平方可积的，归一化的波函数是否随运动保持其归一性？

   简单说明

3. 推论：量子力学中的一些守恒律

   • 质量密度$\rho_m=m\rho=m|\psi(\vec{r},t)|^2$
   • 质量流密度$\vec{\jmath}_{m}=m\vec{\jmath}=\frac{i\hbar}{2}(\psi\nabla\psi^{\ast}-\psi^{\ast}\nabla\psi)$
   • 质量守恒定律（质量连续性方程）$\frac{\partial\rho_m}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}_m=0$
   • 电荷密度
   • 电荷流密度
   • 电荷守恒定律（电荷连续性方程）

   微观与宏观对应起来的实验：光子聚集态，波函数的形式就式失势$\vec A$

定态薛定谔方程 time-independent $\text{Schrödinger}$ equation

分离变量法。