(矩阵m2范数)Frobenius 矩阵

• （Perron补｜非负不可约矩阵↔图强联通）

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$$ A\in\mathbb{R}^{m\times n},\quad\|A\|{F}=\left(\sum{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(a_{ij})^{2}\right)^{\frac12} $$

1. 相容范数：绝对值不等式+柯西-施瓦兹不等式
2. 按列分解：范数的平方是奇异值的平方和 范数的平方就是$A^\dagger A$的trace
3. 酉不变性：酉变换不改变F-范数【酉不变性】 Unitary矩阵的。。变换保持范数相同 - 海森伯跟约化(可逆矩阵⇒初等变换；酉矩阵⇒) （奇异值是酉不变量【奇异值为酉（等价）不变量】 $A,B$酉等价，两者奇异值相同 ） </aside>

• m2 范数性质

  1. 范数的平方就是$A^\dagger A$的trace

     先按列分解，再将2-范数写成矩阵乘法形式

     $$ \lVert A\lVert_F^2=\sum_{j=1}^n\lVert \alpha_j\lVert^2_2 =\sum_{j=1}^n \alpha_i^\dagger\alpha_j=Tr(A^\dagger A)=\sum_{i=1}^n\lambda_i(A^\dagger A)\\\|A\|F=\sum{i=1}^r\sigma_i^2(A). $$

     【奇异值】 矩阵$A$乘其Hermite的特征值的开方，称矩阵$A$的奇异值（大于零，正奇异值）

  2. 【酉不变性】 Unitary矩阵的。。变换保持范数相同 - 海森伯跟约化(可逆矩阵⇒初等变换；酉矩阵⇒)

     $$ \lVert A\lVert_F=Tr[(UAV)^\dagger(UAV)]=\lVert UAV\lVert_F,U^\dagger U=E_m,V^\dagger V=E_n $$

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  Hermite 矩阵 $A^\dagger=A$

  二次型产生，半正定矩阵，实特征值

  合同于对角阵，对角元有确定个$+1,-1,0$, $\#1+\#-1=rank A$

  【幂等厄密矩阵】对应正交投影

  Hermite矩阵和反hermite 矩阵，酉矩阵，对角阵为正规矩阵

  正规矩阵酉相似于对角阵（充要条件）

  Hermite矩阵奇异值等于对应特征值

  • 【正定厄密矩阵】Cholesky分解 【Cholesky 分解】 $A^\dagger=A\in\mathbb C^{n\times n},x^\dagger Ax>0,\forall x\ne 0$ ，那么矩阵可做Cholesky分解为一般可逆矩阵的乘积（不唯一）

    $$ A=R^\dagger R. $$

    Hermite矩阵正定只需要看对角元 大小：主对角线元素大于零，矩阵为厄密矩阵（实特征值），特征值都是正数

  • F范数 满足三角不等式、相容性。

    $$ \lVert A\lVert_F=\Big[\sum_{i=1}^n\lambda^2_i(A)\Big]^{\frac 12}. $$

    $$ \lVert A+B\lVert_F\le\lVert A\lVert_F+ \lVert B\lVert_F,A^\dagger=A,B^\dagger=B. $$

    $$ \lVert AB\lVert_F\le \lVert A\lVert_F\cdot\lVert B\lVert_F, A^\dagger=A,B^\dagger=B,AB=BA. $$

  • 【Rayleigh-Ritz| 有界性】商以矩阵A的最大特征值为上界，最小特征值为下界

    • 【Schur分解】 【Schur分解】 中的上三角矩阵是对角阵，进而元素是特征值

      $$ A=UDU^\dagger $$

      Hermite矩阵的二次型是其特征值的凸组合

    • Weyl定理：Hemite矩阵扰动后的特征值仍介于扰动矩阵的特征值改变量中【Weyl】厄密矩阵A发生扰动后的厄密矩阵B，/la

      $$ \lambda_k(A)+\lambda_n(B)\le \lambda_k(A+B)\le \lambda_k(A)+\lambda_1(B). $$

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